Considere a tabela abaixo contendo alguns pontos da função f(x). x -1 0 1 2 3 y= f(x) 2.4 -2,5 -7.2 -10.5 -11.2. Determine a integral aproximada de f(x) no intervalo x? [-1,3] pelo metodo do trapezio. a) -24,6 b) -17,8 c) -34,4 d) -37,7 e) -13,4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral aproximada da função $ f(x) $ no intervalo de $ x = -1 $ até $ x = 3 $ usando o método do trapézio. Para isso, precisamos entender como esse método funciona e aplicar ele nos pontos que a gente tem na tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método do trapézio. Esse método é uma técnica de integração numérica que aproxima a área sob uma curva dividindo o intervalo de integração em pequenos trapézios. A fórmula geral para $ n $ trapézios é:
n
Aqui, $ h $ é a largura de cada subintervalo, $ x_0 $ é o início do intervalo, e $ x_n $ é o fim.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que temos:
  • Intervalo de integração: de $ x = -1 $ até $ x = 3 $.
  • Número de pontos: 5 ($ x = -1, 0, 1, 2, 3 $).
Isso significa que a gente tem $ n = 4 $ trapézios (porque $ n = $ número de intervalos).
Para encontrar $ h $, que é a largura de cada intervalo, usamos a fórmula:
x = -1
Então, $ h = 1 $.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula do método do trapézio com os valores que temos:
Integral approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + f(x4) ]
Substituindo os valores:
Integral approx 12 [ f(-1) + 2f(0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3) ]
Vamos colocar os valores de $ f(x) $:
f(x)
Calculando dentro dos colchetes:
Integral approx 12 [ 2.4 + 2(-2.5) + 2(-7.2) + 2(-10.5) + (-11.2) ]
2.4 + 2(-2.5) = 2.4 - 5 = -2.6
-2.6 + 2(-7.2) = -2.6 - 14.4 = -17
-17 + 2(-10.5) = -17 - 21 = -38
Então:
-38 + (-11.2) = -49.2

Resposta

A integral aproximada de $ f(x) $ no intervalo f(x) pelo método do trapézio é -24,6. Portanto, a opção correta é a) -24,6.

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