Dada a função continua
f(x) = √x - 5ex
Complete a tabela de valores com o sinal de f(x), e determine o intervalo que contém pelo menos um zero (ou raiz) de f(x).
X
0
1
2
3
1 = ( , )
Assinale a ALTERNATIVA CORRETA.
A) (0.1)
B) (-1,0)
C) (1,2)
D) (2.3)
E) (3,4​

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função contínua $ f(x) = \sqrt{x} - 5e^x $. Nosso objetivo é completar uma tabela com os sinais de $ f(x) $ para $ x = 0, 1, 2, 3 $ e descobrir em qual intervalo a função muda de sinal, o que indica que há pelo menos uma raiz nesse intervalo. Para isso, vamos precisar calcular o valor de $ f(x) $ em cada ponto e analisar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ f(0) $:
f(0)
Então, $ f(0) $ é negativo.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ f(1) $:
f(1)
Sabemos que $ e $ é aproximadamente 2,718. Então:
f(1) = raiz1 - 5e^1 = 1 - 5e
Assim, $ f(1) $ também é negativo.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular $ f(2) $:
f(2)
Sabendo que $ \sqrt{2} \approx 1,414 $ e $ e^2 \approx 7,389 $:
f(2) = raiz2 - 5e^2
Portanto, $ f(2) $ é negativo.

Passo 5

Por fim, vamos calcular $ f(3) $:
f(3)
Com $ \sqrt{3} \approx 1,732 $ e $ e^3 \approx 20,086 $:
f(3) = raiz3 - 5e^3
Assim, $ f(3) $ também é negativo.

Passo 6

Agora, vamos completar a tabela com os sinais de $ f(x) $:
$ x $ $ f(x) $
0 -
1 -
2 -
3 -
Observamos que todos os valores de $ f(x) $ são negativos nos pontos analisados. Isso significa que não há mudança de sinal entre 0 e 3.

Passo 7

No entanto, pelo enunciado, devemos considerar um intervalo que contenha pelo menos um zero da função. Como a função é contínua e os valores calculados são todos negativos, precisamos verificar o comportamento da função em outros intervalos ou pontos. Observando a função $ f(x) = \sqrt{x} - 5e^x $, percebemos que, para valores de $ x < 0 $, a expressão $ \sqrt{x} $ não está definida nos números reais. Portanto, não há raízes reais para essa função.

Resposta

Nenhuma das alternativas está correta, pois a função $ f(x) = \sqrt{x} - 5e^x $ não possui raízes reais no intervalo apresentado.

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