Dada a função continua
f(x) = √x - 5ex
Complete a tabela de valores com o sinal de f(x), e determine o intervalo que contém pelo menos um zero (ou raiz) de f(x).
X
0
1
2
3
1 = ( , )
Assinale a ALTERNATIVA CORRETA.
A) (0.1)
B) (-1,0)
C) (1,2)
D) (2.3)
E) (3,4
f(x) = √x - 5ex
Complete a tabela de valores com o sinal de f(x), e determine o intervalo que contém pelo menos um zero (ou raiz) de f(x).
X
0
1
2
3
1 = ( , )
Assinale a ALTERNATIVA CORRETA.
A) (0.1)
B) (-1,0)
C) (1,2)
D) (2.3)
E) (3,4
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função contínua $ f(x) = \sqrt{x} - 5e^x $. Nosso objetivo é completar uma tabela com os sinais de $ f(x) $ para $ x = 0, 1, 2, 3 $ e descobrir em qual intervalo a função muda de sinal, o que indica que há pelo menos uma raiz nesse intervalo. Para isso, vamos precisar calcular o valor de $ f(x) $ em cada ponto e analisar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ f(0) $:
Então, $ f(0) $ é negativo.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ f(1) $:
Sabemos que $ e $ é aproximadamente 2,718. Então:
Assim, $ f(1) $ também é negativo.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular $ f(2) $:
Sabendo que $ \sqrt{2} \approx 1,414 $ e $ e^2 \approx 7,389 $:
Portanto, $ f(2) $ é negativo.
Passo 5
Por fim, vamos calcular $ f(3) $:
Com $ \sqrt{3} \approx 1,732 $ e $ e^3 \approx 20,086 $:
Assim, $ f(3) $ também é negativo.
Passo 6
Agora, vamos completar a tabela com os sinais de $ f(x) $:
$ x $ | $ f(x) $ |
---|---|
0 | - |
1 | - |
2 | - |
3 | - |
Observamos que todos os valores de $ f(x) $ são negativos nos pontos analisados. Isso significa que não há mudança de sinal entre 0 e 3.
Passo 7
No entanto, pelo enunciado, devemos considerar um intervalo que contenha pelo menos um zero da função. Como a função é contínua e os valores calculados são todos negativos, precisamos verificar o comportamento da função em outros intervalos ou pontos. Observando a função $ f(x) = \sqrt{x} - 5e^x $, percebemos que, para valores de $ x < 0 $, a expressão $ \sqrt{x} $ não está definida nos números reais. Portanto, não há raízes reais para essa função.
Resposta
Nenhuma das alternativas está correta, pois a função $ f(x) = \sqrt{x} - 5e^x $ não possui raízes reais no intervalo apresentado.