Se uma bola for atirada do topo de um edifício de 128 metros de altura, com velocidade de 16 metros por segundo, então a altura h acima do solo em t segundos mais tarde será: h = 128 + 16t - 16t^2. Em qual intervalo de tempo a bola estará no mínimo 32 metros acima do solo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola sendo lançada do topo de um prédio de 128 metros de altura, com uma velocidade inicial de 16 metros por segundo. A gente quer descobrir em qual intervalo de tempo a bola estará pelo menos a 32 metros acima do chão. Vamos usar um pouquinho de matemática e física para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, a fórmula que descreve a altura da bola em função do tempo é dada por:
Onde:
  • é a altura em metros,
  • é o tempo em segundos.
Queremos encontrar os valores de para os quais metros.

Passo 3

Vamos montar a inequação:
Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar os valores de .

Passo 4

Primeiro, subtraímos 32 de ambos os lados para simplificar:

Passo 5

Vamos reorganizar a inequação:
Para facilitar, podemos multiplicar todos os termos por -1 (lembre-se que ao multiplicar uma inequação por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte):

Passo 6

Agora, vamos dividir todos os termos por 16 para simplificar a equação:

Passo 7

Precisamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores críticos de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .

Passo 8

Calculando o discriminante:
Agora, substituindo na fórmula:
Portanto, as soluções são:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos .

Passo 9

Agora, sabemos que a parabola da inequação abre para cima (porque o coeficiente de é positivo), então a solução da inequação será o intervalo entre as raízes:
Mas lembrando que o tempo não pode ser negativo, então o intervalo válido é:

Resposta

O intervalo de tempo em que a bola está pelo menos a 32 metros acima do solo é de 0 a 3 segundos.

Exercícios relacionados