Se uma bola for atirada do topo de um edifício de 128 metros de altura, com velocidade de 16 metros por segundo, então a altura h acima do solo em t segundos mais tarde será:
. Em qual intervalo de tempo a bola estará no mínimo 32 metros acima do solo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola sendo lançada do topo de um prédio de 128 metros de altura, com uma velocidade inicial de 16 metros por segundo. A gente quer descobrir em qual intervalo de tempo a bola estará pelo menos a 32 metros acima do chão. Vamos usar um pouquinho de matemática e física para resolver isso!
Passo 2
Primeiro, a fórmula que descreve a altura da bola em função do tempo é dada por:
Onde:
-
é a altura em metros, -
é o tempo em segundos.
Queremos encontrar os valores de
para os quais
metros.
Passo 3
Vamos montar a inequação:
Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar os valores de
.
Passo 4
Primeiro, subtraímos 32 de ambos os lados para simplificar:
Passo 5
Vamos reorganizar a inequação:
Para facilitar, podemos multiplicar todos os termos por -1 (lembre-se que ao multiplicar uma inequação por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte):
Passo 6
Agora, vamos dividir todos os termos por 16 para simplificar a equação:
Passo 7
Precisamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores críticos de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Passo 8
Calculando o discriminante:
Agora, substituindo na fórmula:
Portanto, as soluções são:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos
.
Passo 9
Agora, sabemos que a parabola da inequação
abre para cima (porque o coeficiente de
é positivo), então a solução da inequação será o intervalo entre as raízes:
Mas lembrando que o tempo não pode ser negativo, então o intervalo válido é:
Resposta
O intervalo de tempo em que a bola está pelo menos a 32 metros acima do solo é de 0 a 3 segundos.