Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a série infinita:
O objetivo aqui é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender conceitos de convergência de séries e testar a série usando alguns critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos olhar para a série com os termos em valor absoluto:
Se essa série convergir, então a série original também converge absolutamente. Se não, precisamos verificar a convergência condicional.
Passo 3
Para analisar a convergência da série com termos positivos , vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é útil para séries que envolvem fatorial e potências.
O Teste da Razão diz que:
Se , a série converge; se , diverge; se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Agora, a razão fica:
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.
Passo 5
Agora que sabemos que a série dos termos em valor absoluto converge, isso significa que a série original também converge absolutamente. Quando uma série converge absolutamente, ela também converge condicionalmente, mas a convergência absoluta é uma condição mais forte.