Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=2^infty(-1)^n+1 n^2 2^nn!

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a série infinita:
sumn=2^infty (-1)^n+1 n^2 2^nn!
O objetivo aqui é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender conceitos de convergência de séries e testar a série usando alguns critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos olhar para a série com os termos em valor absoluto:
sumn=2^infty | (-1)^n+1 n^2 2^nn! | = sumn=2^infty n^2 2^nn!
Se essa série convergir, então a série original também converge absolutamente. Se não, precisamos verificar a convergência condicional.

Passo 3

Para analisar a convergência da série com termos positivos sumn=2^infty n^2 2^nn!, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é útil para séries que envolvem fatorial e potências.
O Teste da Razão diz que:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
an = n^2 2^nn! an+1 = (n+1)^2 2^n+1(n+1)! = (n+1)^2 2 cdot 2^n(n+1) n! = (n+1) 2 cdot 2^nn!
Agora, a razão an+1an fica:
an+1an = (n+1) 2 cdot 2^n / n!n^2 2^n / n! = 2(n+1)n^2 = 2(n+1)n^2
Agora, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty 2(n+1)n^2 = limn to infty 2n + 2n^2 = 0
Como L = 0 < 1, pelo Teste da Razão, a série sumn=2^infty n^2 2^nn! converge absolutamente.

Passo 5

Agora que sabemos que a série dos termos em valor absoluto converge, isso significa que a série original também converge absolutamente. Quando uma série converge absolutamente, ela também converge condicionalmente, mas a convergência absoluta é uma condição mais forte.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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