Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a série infinita:
O objetivo aqui é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender conceitos de convergência de séries e testar a série usando alguns critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos olhar para a série com os termos em valor absoluto:
Se essa série convergir, então a série original também converge absolutamente. Se não, precisamos verificar a convergência condicional.

Passo 3

Para analisar a convergência da série com termos positivos , vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é útil para séries que envolvem fatorial e potências.
O Teste da Razão diz que:
Se , a série converge; se , diverge; se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
Agora, a razão fica:
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Passo 5

Agora que sabemos que a série dos termos em valor absoluto converge, isso significa que a série original também converge absolutamente. Quando uma série converge absolutamente, ela também converge condicionalmente, mas a convergência absoluta é uma condição mais forte.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados

Uma fábrica de jogos eletrônicos sabe que o custo de produzir jogos em um dia é de . Além disso, cada jogo é vendido por para os lojistas. Sabe-se que a receita dessa empresa, , é dada pelo produto do valor de venda de cada unidade pelo número de jogos produzidos, (suponha que todos os jogos produzidos são vendidos) Além disso, pode-se estimar que o lucro dela, , é dada pela diferença entre a receita, , e o custo, . Escreva uma expressão para e determine o lucro máximo diário dessa indústria.
Considere a função linear . Se e , quanto vale ?
Se uma bola for atirada do topo de um edifício de 128 metros de altura, com velocidade de 16 metros por segundo, então a altura h acima do solo em t segundos mais tarde será: . Em qual intervalo de tempo a bola estará no mínimo 32 metros acima do solo?
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.