Uma fábrica de jogos eletrônicos sabe que o custo de produzir x jogos em um dia é de C(x) = 2,5 x^2 - 40 x + 2000. Além disso, cada jogo é vendido por R para os lojistas. Sabe-se que a receita dessa empresa, para os lojistas. Sabe-se que a receita dessa empresa, é dada pelo produto do valor de venda de cada unidade pelo número de jogos produzidos, preco = valor_venda_unidade * numero_jogos_produzidos (suponha que todos os jogos produzidos são vendidos) Além disso, pode-se estimar que o lucro dela, lucro = jogos_produzidos * preco_unitario - custos_totais, é dada pela diferença entre a receita, é dada pela diferença entre a receita, e o custo, e o custo. Escreva uma expressão para Escreva uma expressão para y e determine o lucro máximo diário dessa indústria.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma fábrica de jogos eletrônicos que tem um custo para produzir x jogos por dia, dado pela função C(x) = 2,5x² - 40x + 2000. Além disso, cada jogo é vendido por R$160, então a receita R(x) é o preço por jogo vezes a quantidade produzida. A gente precisa escrever a expressão do lucro L(x) que é a diferença entre a receita e o custo, e descobrir qual é o lucro máximo que a fábrica pode ter por dia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de custo C(x) = 2,5x² - 40x + 2000. Aqui:
  • 2,5x² representa o custo que varia com o quadrado da quantidade produzida. Isso pode ser custos como materiais que aumentam mais quando a produção aumenta.
  • -40x é um termo linear, talvez representando descontos por quantidade ou eficiência na produção.
  • 2000 é o custo fixo diário, que não muda com a quantidade produzida, como aluguel, salários fixos, etc.

Passo 3

A receita R(x) é bem direta: cada jogo é vendido por R$160, então se você vende x jogos, a receita é 160x.

Passo 4

Agora, o lucro L(x) é a diferença entre a receita e o custo. Ou seja:
Substituindo as funções que já temos:
²

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do lucro:
²
²
Então, a função do lucro é:
²

Passo 6

Para encontrar o lucro máximo, precisamos encontrar o valor de x que maximiza a função quadrática L(x) = -2,5x² + 200x - 2000. Sabemos que o gráfico de uma função quadrática com coeficiente a negativo é uma parábola que abre para baixo, então o lucro máximo ocorre no vértice dessa parábola.
A fórmula para encontrar a coordenada x do vértice é:
Aqui, a = -2,5 e b = 200.

Passo 7

Agora que sabemos que o lucro máximo ocorre quando x = 40, vamos calcular o lucro nesse ponto:

Resposta

A expressão do lucro é e o lucro máximo diário dessa indústria é de R$ 2000.

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