Uma fábrica de jogos eletrônicos sabe que o custo de produzir
jogos em um dia é de
. Além disso, cada jogo é vendido por
para os lojistas. Sabe-se que a receita dessa empresa,
, é dada pelo produto do valor de venda de cada unidade pelo número de jogos produzidos,
(suponha que todos os jogos produzidos são vendidos) Além disso, pode-se estimar que o lucro dela,
, é dada pela diferença entre a receita,
, e o custo,
. Escreva uma expressão para
e determine o lucro máximo diário dessa indústria.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma fábrica de jogos eletrônicos que tem um custo para produzir
x
jogos por dia, dado pela função C(x) = 2,5x² - 40x + 2000
. Além disso, cada jogo é vendido por R$160, então a receita R(x)
é o preço por jogo vezes a quantidade produzida. A gente precisa escrever a expressão do lucro L(x)
que é a diferença entre a receita e o custo, e descobrir qual é o lucro máximo que a fábrica pode ter por dia.Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de custo
C(x) = 2,5x² - 40x + 2000
. Aqui:2,5x²
representa o custo que varia com o quadrado da quantidade produzida. Isso pode ser custos como materiais que aumentam mais quando a produção aumenta.-40x
é um termo linear, talvez representando descontos por quantidade ou eficiência na produção.2000
é o custo fixo diário, que não muda com a quantidade produzida, como aluguel, salários fixos, etc.
Passo 3
A receita
R(x)
é bem direta: cada jogo é vendido por R$160, então se você vende x
jogos, a receita é 160x
.Passo 4
Agora, o lucro
L(x)
é a diferença entre a receita e o custo. Ou seja:Substituindo as funções que já temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão do lucro:
Então, a função do lucro é:
Passo 6
Para encontrar o lucro máximo, precisamos encontrar o valor de
x
que maximiza a função quadrática L(x) = -2,5x² + 200x - 2000
. Sabemos que o gráfico de uma função quadrática com coeficiente a
negativo é uma parábola que abre para baixo, então o lucro máximo ocorre no vértice dessa parábola.A fórmula para encontrar a coordenada
x
do vértice é:Aqui,
a = -2,5
e b = 200
.Passo 7
Agora que sabemos que o lucro máximo ocorre quando
x = 40
, vamos calcular o lucro nesse ponto:Resposta
A expressão do lucro é
e o lucro máximo diário dessa indústria é de R$ 2000.