Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente testes de convergência como o teste da série absolutamente convergente e o teste de convergência condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série original: . Note que o denominador é , que cresce muito rápido conforme aumenta. Por outro lado, o numerador é , que oscila entre -1 e 1.

Passo 3

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos: . Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, analisamos a série majorada . Sabemos que a série é convergente e, portanto, sua parte a partir de também é convergente.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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