Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente testes de convergência como o teste da série absolutamente convergente e o teste de convergência condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série original: . Note que o denominador é , que cresce muito rápido conforme aumenta. Por outro lado, o numerador é , que oscila entre -1 e 1.
Passo 3
Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos: . Sabemos que , então:
Passo 4
Agora, analisamos a série majorada . Sabemos que a série é convergente e, portanto, sua parte a partir de também é convergente.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente.