Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente testes de convergência como o teste da série absolutamente convergente e o teste de convergência condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série original: . Note que o denominador é , que cresce muito rápido conforme aumenta. Por outro lado, o numerador é , que oscila entre -1 e 1.
Passo 3
Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos: . Sabemos que |cos(n pi / 3)| <= 1, então:
| cos (n pi / 3)n! | <= 1n!
Passo 4
Agora, analisamos a série majorada sumn=2^infty 1n!. Sabemos que a série sumn=0^infty 1n! é convergente e, portanto, sua parte a partir de n=2 também é convergente.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos sumn=2^infty | cos (n pi / 3)n! | converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente.
Resposta
A série sumn=2^infty cos (n pi / 3)n! é absolutamente convergente.