Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=2^infty cos (n pi / 3)n!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série sumn=2^infty cos (n pi / 3)n! é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente testes de convergência como o teste da série absolutamente convergente e o teste de convergência condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série original: sumn=2^infty cos (n pi / 3)n!. Note que o denominador é n!, que cresce muito rápido conforme n aumenta. Por outro lado, o numerador é cos(n pi / 3), que oscila entre -1 e 1.

Passo 3

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos: sumn=2^infty | cos (n pi / 3)n! |. Sabemos que |cos(n pi / 3)| <= 1, então:
| cos (n pi / 3)n! | <= 1n!

Passo 4

Agora, analisamos a série majorada sumn=2^infty 1n!. Sabemos que a série sumn=0^infty 1n! é convergente e, portanto, sua parte a partir de n=2 também é convergente.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos sumn=2^infty | cos (n pi / 3)n! | converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série sumn=2^infty cos (n pi / 3)n! é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados