Se uma bola for empurrada ladeira abaixo, sobre um plano inclinado, a uma velocidade inicial de a distância em que ela terá rolado, após t segundos, será dada por .
a) Determine sua velocidade após 2 s :

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de uma bola que está descendo uma ladeira. A gente tem uma equação que mostra a distância que a bola percorre em função do tempo: . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade da bola depois de 2 segundos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a relação entre distância, tempo e velocidade. A distância é como o quão longe a bola foi, o tempo é quanto tempo passou, e a velocidade é a rapidez com que a bola está se movendo naquele instante.

Passo 3

Para encontrar a velocidade, usamos o conceito de derivada na matemática. A derivada da distância em relação ao tempo nos dá a velocidade. Então, vamos derivar a equação de para achar .

Passo 4

A equação que temos é . Vamos derivar cada termo em relação a :
  • A derivada de é (porque a derivada de é 1).
  • A derivada de é (usando a regra do poder: multiplicamos o coeficiente pelo expoente e diminuímos o expoente em 1).

Passo 5

Então, a equação da velocidade fica:

Passo 6

Agora, queremos saber a velocidade após 2 segundos. Basta substituir por 2 na equação da velocidade:

Resposta

A velocidade da bola após 2 segundos é de .

Exercícios relacionados

Um forno industrial assa seus produtos à temperatura constante de 608 graus centígrados. A temperatura do forno, desde o início em que é ligado até atingir a temperatura de funcionamento, é dada por:
em minutos em graus Celcius.
a) Qual a temperatura inicial do forno?
Uma cisterna está sendo esvaziada para limpeza. A quantidade de água na cisterna, em litros, horas após o escoamento é dada por . Determinar:
b) A taxa de variação do volume de água na cisterna após 8 horas.
Quando o sangue se move do coração para as grandes artérias, destas para os capilares e dos capilares para as veias, a pressão sistólica diminui progressivamente. Considere uma pessoa cuja pressão sistólica P (em milímetros de mercúrio) é dada por , onde t é o tempo em segundos após o sangue deixar o coração. Qual é a taxa de variação da pressão sistólica cinco segundos após o sangue deixar o coração?
Um forno industrial assa seus produtos à temperatura constante de 608 graus centígrados. A temperatura do forno, desde o início em que é ligado até atingir a temperatura de funcionamento, é dada por:
em minutos em graus Celcius.
b) Calcule a variação da temperatura no intervalo de tempo