Uma cisterna está sendo esvaziada para limpeza. A quantidade de água na cisterna, em litros, t horas após o escoamento é dada por V(t) = 50(80 - t)². Determinar:
b) A taxa de variação do volume de água na cisterna após 8 horas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma cisterna que está sendo esvaziada para limpeza. A quantidade de água na cisterna, em litros, dependendo do tempo que passou desde o início do escoamento, é dada pela função . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a taxa de variação desse volume de água depois de 8 horas. Basicamente, queremos saber quão rápido o volume de água está diminuindo nesse momento específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa “taxa de variação do volume”. Isso é, na matemática, a derivada da função em relação ao tempo . A derivada nos dá exatamente essa informação: quão rápido a quantidade de água está mudando a cada instante.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . Para isso, aplicamos a regra da cadeia. Primeiro, derivamos o que está dentro do parêntese e depois multiplicamos pela derivada do exterior.
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a taxa de variação , vamos substituir horas:
Isso significa que, após 8 horas, o volume de água na cisterna está diminuindo a uma taxa de 7200 litros por hora.

Resposta

A taxa de variação do volume de água na cisterna após 8 horas é de litros por hora.

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