Uma bola de futebol é chutada a partir do chão com uma velocidade inicial de 19,5 m/s e um ângulo para cima de 45^circ. No mesmo instante um jogador a 55,0 m de distância, na direção do chute, começa a correr para receber a bola. Qual deve ser sua velocidade escalar média para que ele alcance a bola cabeceando-a. Considere a altura máxima do jogador + salto igual a 220 cm.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conhecimentos precisamos usar. Temos uma bola de futebol sendo chutada com uma velocidade inicial de 19,5 m/s em um ângulo de em relação ao chão. No mesmo instante, um jogador que está a 55,0 metros de distância começa a correr na direção da bola para cabeceá-la quando ela atinge uma altura de 2,20 metros (considerando a altura do jogador mais o salto). Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento projetado, descomposição de vetores e equações do movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bola nas suas componentes horizontal e vertical. Usamos trigonometria para isso:
v0x = v0 cdot cos(theta)
v0y = v0 cdot sin(theta)
Onde:
  • v0x = 19,5 cdot cos(45^circ) approx 19,5 cdot 0,7071 approx 13,78 , m/s
  • v0y = 19,5 cdot sin(45^circ) approx 19,5 cdot 0,7071 approx 13,78 , m/s
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos determinar o tempo que a bola leva para atingir a altura de 2,20 metros. Usamos a equação do movimento vertical:
y(t) = v0y cdot t - 12 g t^2
Onde:
  • 2,20 = 13,78 cdot t - 12 cdot 9,81 cdot t^2
  • 12 cdot 9,81 cdot t^2 - 13,78 cdot t + 2,20 = 0 (aceleração da gravidade)
Substituindo os valores:
4,905 cdot t^2 - 13,78 cdot t + 2,20 = 0
Isso é uma equação quadrática na forma:
Ou simplificando:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o tempo t = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Usamos a fórmula de Bhaskara:
De
Onde:
  • t = 13,78 pm raiz146,84442 cdot 4,905 approx 13,78 pm 12,129,81
  • t1 = 13,78 + 12,129,81 approx 25,909,81 approx 2,64 , s
  • t2 = 13,78 - 12,129,81 approx 1,669,81 approx 0,17 , s
Calculando o discriminante ( ):
Agora, calculamos :
Obtemos dois valores para :
Consideramos o tempo positivo e correspondente ao momento em que a bola está subindo, então .

Passo 5

Com o tempo x(t) = v0x cdot t em mãos, vamos calcular a posição horizontal da bola nesse instante. Usamos a equação do movimento horizontal, que é uniforme:
x(t) = 13,78 cdot 0,17 approx 2,34 , m
Substituindo:
Então, a bola está a 2,34 metros do ponto onde foi chutada quando atinge a altura de 2,20 metros.

Passo 6

Agora, o jogador está inicialmente a 55,0 metros da bola, mas nesse instante a bola já percorreu 2,34 metros. Portanto, a distância que o jogador precisa percorrer para alcançar a bola é:
d = 55,0 - 2,34 approx 52,66 , m

Passo 7

Sabemos que o jogador tem que percorrer 52,66 metros em 0,17 segundos para alcançar a bola no momento em que ela está a 2,20 metros de altura. A velocidade média vp = dt = 52,660,17 approx 309,76 , m/s necessária é:

Resposta

O jogador deve correr com uma velocidade escalar média de aproximadamente 309,8 m/s para alcançar a bola cabeceando-a.

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