Uma bola de futebol é chutada a partir do chão com uma velocidade inicial de 19,5 m/s e um ângulo para cima de
. No mesmo instante um jogador a 55,0 m de distância, na direção do chute, começa a correr para receber a bola. Qual deve ser sua velocidade escalar média para que ele alcance a bola cabeceando-a. Considere a altura máxima do jogador + salto igual a 220 cm.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conhecimentos precisamos usar. Temos uma bola de futebol sendo chutada com uma velocidade inicial de 19,5 m/s em um ângulo de
em relação ao chão. No mesmo instante, um jogador que está a 55,0 metros de distância começa a correr na direção da bola para cabeceá-la quando ela atinge uma altura de 2,20 metros (considerando a altura do jogador mais o salto). Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento projetado, descomposição de vetores e equações do movimento uniformemente acelerado.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bola nas suas componentes horizontal e vertical. Usamos trigonometria para isso:
Onde:
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos determinar o tempo que a bola leva para atingir a altura de 2,20 metros. Usamos a equação do movimento vertical:
Onde:
-
-
(aceleração da gravidade)
Substituindo os valores:
Isso é uma equação quadrática na forma:
Ou simplificando:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o tempo
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde:
Calculando o discriminante (
):
Agora, calculamos
:
Obtemos dois valores para
:
Consideramos o tempo positivo e correspondente ao momento em que a bola está subindo, então
.
Passo 5
Com o tempo
em mãos, vamos calcular a posição horizontal da bola nesse instante. Usamos a equação do movimento horizontal, que é uniforme:
Substituindo:
Então, a bola está a 2,34 metros do ponto onde foi chutada quando atinge a altura de 2,20 metros.
Passo 6
Agora, o jogador está inicialmente a 55,0 metros da bola, mas nesse instante a bola já percorreu 2,34 metros. Portanto, a distância que o jogador precisa percorrer para alcançar a bola é:
Passo 7
Sabemos que o jogador tem que percorrer 52,66 metros em 0,17 segundos para alcançar a bola no momento em que ela está a 2,20 metros de altura. A velocidade média
necessária é:
Resposta
O jogador deve correr com uma velocidade escalar média de aproximadamente 309,8 m/s para alcançar a bola cabeceando-a.