A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo
é dada por
, em unidades do Sistema Internacional (S.I). Que instante a partícula inverte o sentido de seu movimento, em que posição isso ocorre?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo
com a posição dada pela função
. Nosso objetivo aqui é descobrir em que instante essa partícula muda de direção, ou seja, começa a se mover para o outro lado, e também descobrir em que posição isso acontece. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a entender como a velocidade da partícula está se comportando ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar
em relação a
:
Passo 3
Agora que temos a expressão da velocidade
, queremos descobrir quando a partícula muda de direção. Isso acontece exatamente quando a velocidade muda de sinal, ou seja, quando
passa de positiva para negativa ou vice-versa. Para encontrar esse ponto, vamos igualar a velocidade a zero e resolver para
:
Passo 4
Vamos fatorar a equação para facilitar a resolução:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
O instante
refere-se ao momento inicial, onde a partícula começa a se mover. O momento interessante para a mudança de direção é
segundos. Para confirmar que realmente ocorre uma mudança de direção nesse instante, vamos analisar o sinal da velocidade antes e depois de
:
- Para
, por exemplo, :
Então, a partícula está se movendo para a direita.
- Para
, por exemplo, :
Agora, a partícula está se movendo para a esquerda.
Isso confirma que, em
segundos, a partícula inverte o sentido do movimento.
Passo 6
Por último, vamos descobrir em que posição isso ocorre. Basta substituir
na função de posição
:
Resposta
A partícula inverte o sentido do movimento no instante
segundos, na posição
metros.
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