A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x(t)=12 t^2-2 t^3, em unidades do Sistema Internacional (S.I). Que instante a partícula inverte o sentido de seu movimento, em que posição isso ocorre?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo com a posição dada pela função . Nosso objetivo aqui é descobrir em que instante essa partícula muda de direção, ou seja, começa a se mover para o outro lado, e também descobrir em que posição isso acontece. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a entender como a velocidade da partícula está se comportando ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar v(t) = dxdt = ddt(12t^2 - 2t^3) = 24t - 6t^2 em relação a :

Passo 3

Agora que temos a expressão da velocidade 24t - 6t^2 = 0 , queremos descobrir quando a partícula muda de direção. Isso acontece exatamente quando a velocidade muda de sinal, ou seja, quando passa de positiva para negativa ou vice-versa. Para encontrar esse ponto, vamos igualar a velocidade a zero e resolver para :

Passo 4

Vamos fatorar a equação para facilitar a resolução:
6t(4 - t) = 0
Isso nos dá duas soluções:
6t = 0 Rightarrow t = 0
4 - t = 0 Rightarrow t = 4

Passo 5

O instante v(3) = 24(3) - 6(3)^2 = 72 - 54 = 18 > 0 refere-se ao momento inicial, onde a partícula começa a se mover. O momento interessante para a mudança de direção é v(5) = 24(5) - 6(5)^2 = 120 - 150 = -30 < 0 segundos. Para confirmar que realmente ocorre uma mudança de direção nesse instante, vamos analisar o sinal da velocidade antes e depois de :
  • Para , por exemplo, :
Então, a partícula está se movendo para a direita.
  • Para , por exemplo, :
Agora, a partícula está se movendo para a esquerda.
Isso confirma que, em segundos, a partícula inverte o sentido do movimento.

Passo 6

Por último, vamos descobrir em que posição isso ocorre. Basta substituir x(4) = 12(4)^2 - 2(4)^3 = 12(16) - 2(64) = 192 - 128 = 64 , metros na função de posição :

Resposta

A partícula inverte o sentido do movimento no instante segundos, na posição metros.

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