O vetor , representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante , determine o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um problema de movimento de uma partícula descrito por uma função vetorial de posição . O que precisamos fazer aqui é descobrir qual é o ângulo entre os vetores velocidade ( ) e aceleração ( ) dessa partícula no instante . Para isso, vamos precisar calcular primeiro a velocidade e a aceleração a partir da posição, e depois usar a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de :

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor aceleração , que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

Passo 4

Vamos avaliar os vetores velocidade e aceleração no instante :
Para a velocidade:
Para a aceleração:

Passo 5

Agora, vamos calcular o ângulo entre os vetores e usando a fórmula do produto escalar:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Depois, calculamos as magnitudes dos vetores:
Agora, substituímos na fórmula:

Passo 6

Para encontrar o ângulo , aplicamos a fun��ão arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre os vetores velocidade e aceleração no instante é aproximadamente .

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