O vetor r(t)=(t^3-5 t^2+6 t) imath+(5 t^2-t^3-3) jmath, representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante t=2,0 s, determine o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um problema de movimento de uma partícula descrito por uma função vetorial de posição . O que precisamos fazer aqui é descobrir qual é o ângulo entre os vetores velocidade ( ) e aceleração ( ) dessa partícula no instante . Para isso, vamos precisar calcular primeiro a velocidade e a aceleração a partir da posição, e depois usar a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade v(t) = dr(t)dt = (3t^2 - 10t + 6) imath + (10t - 3t^2) jmath . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de :

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor aceleração a(t) = dv(t)dt = (6t - 10) imath + (10 - 6t) jmath , que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

Passo 4

Vamos avaliar os vetores velocidade e aceleração no instante v(2) = (3(2)^2 - 10(2) + 6) imath + (10(2) - 3(2)^2) jmath = (12 - 20 + 6) imath + (20 - 12) jmath = (-2) imath + 8 jmath :
Para a velocidade:
a(2) = (6(2) - 10) imath + (10 - 6(2)) jmath = (12 - 10) imath + (10 - 12) jmath = 2 imath - 2 jmath
Para a aceleração:

Passo 5

Agora, vamos calcular o ângulo cos(theta) = v cdot a|v| , |a| entre os vetores v cdot a = (-2)(2) + (8)(-2) = -4 -16 = -20 e |v| = raiz(-2)^2 + 8^2 = raiz4 + 64 = raiz68 = 2raiz17 usando a fórmula do produto escalar:
|a| = raiz2^2 + (-2)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2
Primeiro, calculamos o produto escalar cos(theta) = -202raiz17 times 2raiz2 = -204raiz34 = -5raiz34 :
Depois, calculamos as magnitudes dos vetores:
Agora, substituímos na fórmula:

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta = arccos(-5raiz34) approx 113,5^circ , aplicamos a fun��ão arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre os vetores velocidade e aceleração no instante é aproximadamente .

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