O vetor r(t)=(t^3-5 t^2+6 t) imath+(5 t^2-t^3-3) jmath, representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante t=2,0 s, determine o raio da circunferência tangente a trajetória.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um vetor posição da partícula dado por r(t) = (t^3 - 5t^2 + 6t) imath + (5t^2 - t^3 - 3) jmath. Nosso objetivo é encontrar o raio da circunferência tangente à trajetória dessa partícula no instante t = 2,s. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas para determinar velocidade e aceleração, e a fórmula do raio de curvatura que nos dá o raio da circunferência tangente à trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, calculamos v(t) = dr(t)dt.
Calculando cada componente:
  • Para a componente imath: ddt(t^3 - 5t^2 + 6t) = 3t^2 - 10t + 6
  • Para a componente jmath: ddt(5t^2 - t^3 - 3) = 10t - 3t^2
Então, a velocidade é:
v(t) = (3t^2 - 10t + 6) imath + (10t - 3t^2) jmath

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, calculamos a(t) = dv(t)dt.
Calculando cada componente:
  • Para a componente imath: ddt(3t^2 - 10t + 6) = 6t - 10
  • Para a componente jmath: ddt(10t - 3t^2) = 10 - 6t
Então, a aceleração é:
a(t) = (6t - 10) imath + (10 - 6t) jmath

Passo 4

No instante t = 2,s, vamos calcular a velocidade e a aceleração:
Velocidade:
v(2) = (3(2)^2 - 10(2) + 6) imath + (10(2) - 3(2)^2) jmath = (12 - 20 + 6) imath + (20 - 12) jmath = (-2) imath + 8 jmath
Aceleração:
a(2) = (6(2) - 10) imath + (10 - 6(2)) jmath = (12 - 10) imath + (10 - 12) jmath = 2 imath - 2 jmath

Passo 5

Para encontrar o raio da circunferência tangente à trajetória, usamos a fórmula do raio de curvatura R, que relaciona a velocidade e a aceleração:
R = |v(t)|^3|v(t) times a(t)|
Vamos calcular cada parte:
Módulo da velocidade:
|v(2)| = raiz(-2)^2 + 8^2 = raiz4 + 64 = raiz68 approx 8,246 , m/s
Produto vetorial v times a:
Como estamos no plano, o produto vetorial simplifica para um escalar:
v times a = (-2)(-2) - (8)(2) = 4 - 16 = -12
O módulo é |v times a| = 12

Passo 6

Agora, aplicando na fórmula do raio de curvatura:
R = (8,246)^312 approx 560,912 approx 46,74 , metros

Resposta

O raio da circunferência tangente à trajetória no instante t = 2,s é aproximadamente 46,74 metros.

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