O vetor , representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante , determine o raio da circunferência tangente a trajetória.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um vetor posição da partícula dado por . Nosso objetivo é encontrar o raio da circunferência tangente à trajetória dessa partícula no instante . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas para determinar velocidade e aceleração, e a fórmula do raio de curvatura que nos dá o raio da circunferência tangente à trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, calculamos .
Calculando cada componente:
  • Para a componente :
  • Para a componente :
Então, a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, calculamos .
Calculando cada componente:
  • Para a componente :
  • Para a componente :
Então, a aceleração é:

Passo 4

No instante , vamos calcular a velocidade e a aceleração:
Velocidade:
Aceleração:

Passo 5

Para encontrar o raio da circunferência tangente à trajetória, usamos a fórmula do raio de curvatura , que relaciona a velocidade e a aceleração:
Vamos calcular cada parte:
Módulo da velocidade:
Produto vetorial :
Como estamos no plano, o produto vetorial simplifica para um escalar:
O módulo é

Passo 6

Agora, aplicando na fórmula do raio de curvatura:

Resposta

O raio da circunferência tangente à trajetória no instante é aproximadamente 46,74 metros.

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