O vetor
, representa a posição de uma partícula em função do tempo t em unidades do sistema internacional (S.I). No instante
, determine o raio da circunferência tangente a trajetória.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um vetor posição da partícula dado por
. Nosso objetivo é encontrar o raio da circunferência tangente à trajetória dessa partícula no instante
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas para determinar velocidade e aceleração, e a fórmula do raio de curvatura que nos dá o raio da circunferência tangente à trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, calculamos
.
Calculando cada componente:
- Para a componente
: - Para a componente
:
Então, a velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, calculamos
.
Calculando cada componente:
- Para a componente
: - Para a componente
:
Então, a aceleração é:
Passo 4
No instante
, vamos calcular a velocidade e a aceleração:
Velocidade:
Aceleração:
Passo 5
Para encontrar o raio da circunferência tangente à trajetória, usamos a fórmula do raio de curvatura
, que relaciona a velocidade e a aceleração:
Vamos calcular cada parte:
Módulo da velocidade:
Produto vetorial
:
Como estamos no plano, o produto vetorial simplifica para um escalar:
Como estamos no plano, o produto vetorial simplifica para um escalar:
O módulo é
Passo 6
Agora, aplicando na fórmula do raio de curvatura:
Resposta
O raio da circunferência tangente à trajetória no instante
é aproximadamente 46,74 metros.
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