Uma bola de futebol (considere como uma casca esférica de raio
e massa
) parte do repouso e rola para baixo em um plano inclinado.
(a) Qual deve ser o ângulo de inclinação do plano em relação a horizontal para que a aceleração linear do centro da bola tenha um módulo de
?
(a) Qual deve ser o ângulo de inclinação do plano em relação a horizontal para que a aceleração linear do centro da bola tenha um módulo de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola de futebol que está rolando por um plano inclinado. Queremos descobrir qual deve ser o ângulo desse plano em relação à horizontal para que a aceleração da bola seja exatamente
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física relacionados ao movimento em planos inclinados e à dinâmica de rotação. Vamos precisar considerar a massa da bola, o raio e como esses fatores influenciam a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando um objeto rola sem deslizar por um plano inclinado, sua aceleração é influenciada tanto pela força da gravidade quanto pela resistência devido à rotação. A equação geral para a aceleração
do centro de massa da bola rolando sem deslizar é:
Aqui:
-
é a aceleração da gravidade ( ), -
é o ângulo do plano inclinado, -
é o momento de inércia da bola, -
é a massa da bola, -
é o raio da bola.
Passo 3
Como a bola é considerada uma casca esférica, o momento de inércia
para uma casca esférica é dado por:
Vamos substituir esse valor na nossa equação de aceleração:
Passo 4
Agora, queremos que a aceleração
seja
. Vamos igualar e resolver para
:
Primeiro, calculamos
:
Então, temos:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Para encontrar o ângulo
, tiramos o arco seno de 0,833:
Resposta
O ângulo de inclinação do plano deve ser aproximadamente
em relação à horizontal para que a aceleração da bola seja
.