Uma bola de futebol (considere como uma casca esférica de raio R=0,110 m e massa M=0,450 kg ) parte do repouso e rola para baixo em um plano inclinado.
(a) Qual deve ser o ângulo de inclinação do plano em relação a horizontal para que a aceleração linear do centro da bola tenha um módulo de 4.90 m / s^2?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola de futebol que está rolando por um plano inclinado. Queremos descobrir qual deve ser o ângulo desse plano em relação à horizontal para que a aceleração da bola seja exatamente 4,90, m/s^2.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física relacionados ao movimento em planos inclinados e à dinâmica de rotação. Vamos precisar considerar a massa da bola, o raio e como esses fatores influenciam a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando um objeto rola sem deslizar por um plano inclinado, sua aceleração é influenciada tanto pela força da gravidade quanto pela resistência devido à rotação. A equação geral para a aceleração a do centro de massa da bola rolando sem deslizar é:
a = g cdot sin(theta)1 + IM R^2
Aqui:
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81, m/s^2),
  • theta é o ângulo do plano inclinado,
  • I é o momento de inércia da bola,
  • M é a massa da bola,
  • R é o raio da bola.

Passo 3

Como a bola é considerada uma casca esférica, o momento de inércia I para uma casca esférica é dado por:
I = 23 M R^2
Vamos substituir esse valor na nossa equação de aceleração:
a = g cdot sin(theta)1 + 23 M R^2M R^2 = g cdot sin(theta)1 + 23 = g cdot sin(theta)53 = 35 g cdot sin(theta)

Passo 4

Agora, queremos que a aceleração a seja 4,90, m/s^2. Vamos igualar e resolver para sin(theta):
4,90 = 35 cdot 9,81 cdot sin(theta)
Primeiro, calculamos 35 cdot 9,81:
35 cdot 9,81 = 5,886
Então, temos:
4,90 = 5,886 cdot sin(theta)

Passo 5

Agora, isolamos sin(theta):
sin(theta) = 4,905,886 approx 0,833
Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco seno de 0,833:
theta = arcsin(0,833) approx 56^circ

Resposta

O ângulo de inclinação do plano deve ser aproximadamente 56^circ em relação à horizontal para que a aceleração da bola seja 4,90, m/s^2.

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