Um homem está em pé sobre uma plataforma que gira (sem atrito) com uma velocidade angular de
; seus braços estão abertos e ele segura um haltere de
em cada mão. O momento de inércia do sistema formado por homem, os halteres e a plataforma em relação ao eixo vertical central da plataforma é de
. Se ao mover os braços o homem reduz o momento de inércia do sistema para
, determine
(a) a nova velocidade angular da plataforma e
(a) a nova velocidade angular da plataforma e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Dinâmica Rotacional, especificamente sobre momento de inércia e velocidade angular. O que precisamos descobrir aqui é a nova velocidade angular da plataforma depois que o homem fecha os braços, reduzindo o momento de inércia do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. Ele representa a resistência de um objeto à mudança em seu movimento rotacional, similar à massa no movimento linear. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é alterar a velocidade de rotação.
Passo 3
A lei da conservação do momento angular nos diz que, na ausência de torque externo, o momento angular total do sistema permanece constante. Isso significa que se o homem reduzir o momento de inércia, a velocidade angular deve aumentar para compensar e manter o momento angular total igual.
Passo 4
Vamos usar a fórmula da conservação do momento angular:
Onde:
- $ I_1 = 10.0 , kg·m^2 $ é o momento de inércia inicial.
- $ \omega_1 = 1.00 , rev/s $ é a velocidade angular inicial.
- $ I_2 = 2.00 , kg·m^2 $ é o momento de inércia final.
- $ \omega_2 $ é a velocidade angular final que queremos encontrar.
Passo 5
Primeiro, vamos converter a velocidade angular de revoluções por segundo para radianos por segundo, já que a unidade padrão no SI para ângulos é o radiano.
Sabemos que $ 1 , rev = 2\pi , rad $, então:
Passo 6
Agora, aplicando a conservação do momento angular:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 7
Resolvendo para $ \omega_2 $:
Passo 8
Finalmente, podemos converter de rad/s de volta para revoluções por segundo, se preferirmos:
Resposta
A nova velocidade angular da plataforma é de
.