Um homem está em pé sobre uma plataforma que gira (sem atrito) com uma velocidade angular de 1.00 rev / s; seus braços estão abertos e ele segura um haltere de 1,00 kg em cada mão. O momento de inércia do sistema formado por homem, os halteres e a plataforma em relação ao eixo vertical central da plataforma é de 10.0 kg m^2. Se ao mover os braços o homem reduz o momento de inércia do sistema para 2.00 kg m^2, determine
(a) a nova velocidade angular da plataforma e

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Dinâmica Rotacional, especificamente sobre momento de inércia e velocidade angular. O que precisamos descobrir aqui é a nova velocidade angular da plataforma depois que o homem fecha os braços, reduzindo o momento de inércia do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. Ele representa a resistência de um objeto à mudança em seu movimento rotacional, similar à massa no movimento linear. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é alterar a velocidade de rotação.

Passo 3

A lei da conservação do momento angular nos diz que, na ausência de torque externo, o momento angular total do sistema permanece constante. Isso significa que se o homem reduzir o momento de inércia, a velocidade angular deve aumentar para compensar e manter o momento angular total igual.

Passo 4

Vamos usar a fórmula da conservação do momento angular:
I1 cdot omega1 = I2 cdot omega2
Onde:
  • $ I_1 = 10.0 , kg·m^2 $ é o momento de inércia inicial.
  • $ \omega_1 = 1.00 , rev/s $ é a velocidade angular inicial.
  • $ I_2 = 2.00 , kg·m^2 $ é o momento de inércia final.
  • $ \omega_2 $ é a velocidade angular final que queremos encontrar.

Passo 5

Primeiro, vamos converter a velocidade angular de revoluções por segundo para radianos por segundo, já que a unidade padrão no SI para ângulos é o radiano.
Sabemos que $ 1 , rev = 2\pi , rad $, então:
1 , rev = 2pi , rad

Passo 6

Agora, aplicando a conservação do momento angular:
I1 cdot omega1 = I2 cdot omega2
Substituindo os valores conhecidos:
10.0 , kg·m^2 times 2pi , rad/s = 2.00 , kg·m^2 times omega2

Passo 7

Resolvendo para $ \omega_2 $:
omega2

Passo 8

Finalmente, podemos converter de rad/s de volta para revoluções por segundo, se preferirmos:
omega2 = 10pi , rad/s2pi , rad/rev = 5 , rev/s

Resposta

A nova velocidade angular da plataforma é de 5 , rev/s.

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