Uma bola de futebol (considere como uma casca esférica de raio
e massa
) parte do repouso e rola para baixo em um plano inclinado.
(b) Qual é a velocidade linear do centro da bola ao percorrer
ao longo do plano?
(b) Qual é a velocidade linear do centro da bola ao percorrer
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma bola de futebol, que estamos considerando como uma casca esférica com raio $ R = 0,110 , m $ e massa $ M = 0,450 , kg $, parte do repouso e rola por um plano inclinado. A gente precisa descobrir qual é a velocidade linear do centro da bola depois que ela percorre $ 2,00 , m $ ao longo desse plano.
Vamos usar conceitos de física de movimento rotacional e conservação de energia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a bola está rolando sem deslizar, ou seja, está em “rolamento puro”. Isso significa que a energia potencial gravitacional que a bola perde ao descer o plano é convertida tanto em energia cinética de translação (movimento linear) quanto em energia cinética de rotação.
A energia potencial inicial da bola é dada por:
onde:
- $ g = 9,81 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade,
- $ h $ é a altura vertical que a bola desceu.
Passo 3
A energia cinética total da bola ao descer será a soma da energia cinética linear e da energia cinética rotacional:
onde:
- $ v $ é a velocidade linear do centro da bola,
- $ I $ é o momento de inércia da bola,
- $ \omega $ é a velocidade angular.
Como a bola está rolando sem deslizar, temos a relação $ v = \omega R $. E para uma casca esférica, o momento de inércia é:
Passo 4
Substituindo $ I $ e $ \omega $ na equação da energia cinética:
Simplificando:
Passo 5
Pela conservação de energia, a energia potencial inicial é igual à energia cinética final:
Os $ M $ se cancelam:
Isolando $ v $:
Passo 6
Agora, precisamos relacionar a altura $ h $ com a distância percorrida $ d = 2,00 , m $ no plano inclinado. Se o ângulo do plano inclinado for $ \theta $, temos:
No entanto, o ângulo $ \theta $ não foi fornecido. Podemos usar a relação das forças para encontrar a aceleração da bola no plano inclinado.
Passo 7
A aceleração $ a $ de uma bola rolando sem deslizar em um plano inclinado é dada por:
Substituindo $ I = \frac{2}{3} M R^2 $:
Passo 8
Usando a cinemática, com velocidade inicial $ u = 0 $, distância $ d = 2,00 , m $ e aceleração $ a $, a velocidade final $ v $ é:
Como $ u = 0 $:
Substituindo $ a $:
Passo 9
Observando que $ h = d \sin(\theta) $, podemos substituir:
Mas como queremos a resposta final em termos de $ d $, e não temos $ \theta $, vamos considerar a relação direta.
Passo 10
Assumindo que $ h $ é conhecido ou que $ \theta $ permite expressar $ h $ em termos de $ d $, a velocidade final fica:
Resposta
A velocidade linear do centro da bola após percorrer $ 2,00 , m $ no plano inclinado é aproximadamente $ 4,85 , m/s $.