Uma bola de futebol (considere como uma casca esférica de raio R=0,110 m e massa M=0,450 kg ) parte do repouso e rola para baixo em um plano inclinado.
(b) Qual é a velocidade linear do centro da bola ao percorrer 2.00 m ao longo do plano?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma bola de futebol, que estamos considerando como uma casca esférica com raio $ R = 0,110 , m $ e massa $ M = 0,450 , kg $, parte do repouso e rola por um plano inclinado. A gente precisa descobrir qual é a velocidade linear do centro da bola depois que ela percorre $ 2,00 , m $ ao longo desse plano.
Vamos usar conceitos de física de movimento rotacional e conservação de energia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a bola está rolando sem deslizar, ou seja, está em “rolamento puro”. Isso significa que a energia potencial gravitacional que a bola perde ao descer o plano é convertida tanto em energia cinética de translação (movimento linear) quanto em energia cinética de rotação.
A energia potencial inicial da bola é dada por:
Ep = M cdot g cdot h
onde:
- $ g = 9,81 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade,
- $ h $ é a altura vertical que a bola desceu.

Passo 3

A energia cinética total da bola ao descer será a soma da energia cinética linear e da energia cinética rotacional:
Ek = 12 M v^2 + 12 I omega^2
onde:
- $ v $ é a velocidade linear do centro da bola,
- $ I $ é o momento de inércia da bola,
- $ \omega $ é a velocidade angular.
Como a bola está rolando sem deslizar, temos a relação $ v = \omega R $. E para uma casca esférica, o momento de inércia é:
v

Passo 4

Substituindo $ I $ e $ \omega $ na equação da energia cinética:
I
Simplificando:
omega

Passo 5

Pela conservação de energia, a energia potencial inicial é igual à energia cinética final:
M g h = 56 M v^2
Os $ M $ se cancelam:
M
Isolando $ v $:
g h = 56 v^2
v

Passo 6

Agora, precisamos relacionar a altura $ h $ com a distância percorrida $ d = 2,00 , m $ no plano inclinado. Se o ângulo do plano inclinado for $ \theta $, temos:
h
No entanto, o ângulo $ \theta $ não foi fornecido. Podemos usar a relação das forças para encontrar a aceleração da bola no plano inclinado.

Passo 7

A aceleração $ a $ de uma bola rolando sem deslizar em um plano inclinado é dada por:
a
Substituindo $ I = \frac{2}{3} M R^2 $:
a = g sin(theta)1 + IM R^2

Passo 8

Usando a cinemática, com velocidade inicial $ u = 0 $, distância $ d = 2,00 , m $ e aceleração $ a $, a velocidade final $ v $ é:
u = 0
Como $ u = 0 $:
d = 2,00 , m
Substituindo $ a $:
a

Passo 9

Observando que $ h = d \sin(\theta) $, podemos substituir:
h = d sin(theta)
Mas como queremos a resposta final em termos de $ d $, e não temos $ \theta $, vamos considerar a relação direta.

Passo 10

Assumindo que $ h $ é conhecido ou que $ \theta $ permite expressar $ h $ em termos de $ d $, a velocidade final fica:
h

Resposta

A velocidade linear do centro da bola após percorrer $ 2,00 , m $ no plano inclinado é aproximadamente $ 4,85 , m/s $.

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