Um homem está em pé sobre uma plataforma que gira (sem atrito) com uma velocidade angular de
; seus braços estão abertos e ele segura um haltere de
em cada mão. O momento de inércia do sistema formado por homem, os halteres e a plataforma em relação ao eixo vertical central da plataforma é de
. Se ao mover os braços o homem reduz o momento de inércia do sistema para
, determine
(b) a razão entre a nova energia cinética e a energia cinética inicial.
(b) a razão entre a nova energia cinética e a energia cinética inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um homem que está em uma plataforma giratória segurando halteres. A gente precisa descobrir a relação entre a nova energia cinética e a energia cinética inicial quando ele muda a posição dos braços, reduzindo o momento de inércia. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de momento de inércia, velocidade angular e energia cinética rotacional. Vamos passo a passo para entender tudo certinho!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. Ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é para o objeto girar ou parar.
No nosso caso, inicialmente, o momento de inércia $ I_i $ é de $ 10,0 , kg \cdot m^2 $. Quando o homem move os braços, ele reduz o momento de inércia para $ I_f = 2,00 , kg \cdot m^2 $.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre velocidade angular ($ \omega $). Essa é a rapidez com que algo gira ao redor de um eixo. A velocidade angular inicial é de $ 1,00 , rev/s $. Para facilitar nossos cálculos, vamos converter revoluções por segundo para radianos por segundo, já que as fórmulas de física geralmente usam radianos.
Sabemos que $ 1 , rev = 2\pi $ radianos. Então:
Passo 4
Como não há atrito na plataforma, o momento angular é conservado. Isso significa que o momento angular inicial ($ L_i
L_f $):
Sabemos que $ L = I \times \omega $. Então:
Queremos encontrar a nova velocidade angular $ \omega_f $:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia cinética rotacional ($ K $). A fórmula para isso é:
Vamos calcular a energia cinética inicial ($ K_i
K_f $).
Para a energia cinética inicial:
Para a energia cinética final:
Passo 6
Agora, queremos a razão entre a nova energia cinética e a energia cinética inicial:
Resposta
A razão entre a nova energia cinética e a energia cinética inicial é 5.