A bola de futebol evoluiu ao longo do tempo e, atualmente, é um icosaedro truncado formado por 32 peças, denominadas de gomos e, geometricamente, de faces. Nessa bola, 12 faces são pentágonos regulares, e as outras, hexágonos, também regulares. Os lados dos pentágonos e dos hexágonos são iguais e costurados. Ao unirem-se os dois lados costurados das faces, formam-se as arestas. O encontro das arestas formam os vértices. Quando cheio, o poliedro é similar a uma esfera. O número de arestas e o número de vértices existentes nessa bola de futebol são, respectivamente, 80 e 60
80 e 50
70 e 40
90 e 60
90 e 50.
80 e 50
70 e 40
90 e 60
90 e 50.
Passo 1
Então, galera, vamos resolver um exercício sobre geometria dos poliedros, especificamente sobre a estrutura de uma bola de futebol moderna! A questão nos fala sobre um icosaedro truncado com 32 faces: 12 pentágonos e 20 hexágonos. A gente precisa descobrir quantas arestas (linhas onde as faces se encontram) e vértices (pontos onde as arestas se encontram) essa bola tem. Para isso, vamos usar algumas fórmulas e conceitos básicos de geometria dos poliedros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que cada face da bola pode ser um pentágono (com 5 lados) ou um hexágono (com 6 lados). Como temos 12 pentágonos e 20 hexágonos, vamos calcular o total de lados dessas faces. Mas atenção: cada aresta da bola é compartilhada por duas faces, então precisamos ter cuidado para não contar as arestas duas vezes.
Passo 3
Vamos calcular o total de arestas das faces:
- Pentágonos: 12 faces × 5 lados = 60 lados
- Hexágonos: 20 faces × 6 lados = 120 lados
Total de lados somados: 60 + 120 = 180 lados
Mas, como cada aresta é compartilhada por duas faces, o número real de arestas da bola é metade desse total:
Então, temos 90 arestas na bola.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o número de vértices. Para isso, usamos a famosa fórmula de Euler para poliedros, que diz:
Onde:
- $ V $ = número de vértices
- $ E $ = número de arestas (que já calculamos, 90)
- $ F $ = número de faces (32 no total)
Substituindo os valores na fórmula:
Então, a bola tem 60 vértices.
Resposta
A bola de futebol tem 90 arestas e 60 vértices.