Uma bola de futebol que pesa
é lançada verticalmente a partir do nível do solo com uma velocidade inicial de
, e o arrasto do ar sobre ela é de
durante todo o percurso.
(a) Determine a altura máxima alcançada pela bola.
(a) Determine a altura máxima alcançada pela bola.
Passo 1
Vamos resolver um problema de cinemática vertical com a presença de resistência do ar. Temos uma bola de futebol lançada para cima com uma velocidade inicial e queremos descobrir qual é a altura máxima que ela alcança. Para isso, vamos precisar entender como as forças atuam na bola durante o seu trajeto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que agem sobre a bola enquanto ela sobe:
- Peso da bola (
): Essa é a força da gravidade puxando a bola para baixo. Já sabemos que . - Arrasto do ar (
): Essa é a resistência do ar que também atua contra o movimento da bola. Foi dado que .
Passo 3
Vamos calcular a massa da bola (
) usando a fórmula do peso:
Onde
é a aceleração da gravidade. Rearranjando a fórmula para encontrar
:
Passo 4
Agora, vamos determinar a força total que atua contra o movimento da bola (
) enquanto ela está subindo:
Passo 5
Com a força total conhecida, podemos calcular a aceleração negativa (
) que a bola sofre durante a subida usando a segunda lei de Newton:
Essa aceleração é dirigida para baixo, reduzindo a velocidade da bola até que ela pare momentaneamente no ponto mais alto.
Passo 6
Para encontrar a altura máxima (
), usamos a equação de movimento que relaciona velocidade inicial, aceleração e deslocamento:
No ponto mais alto, a velocidade final
. Rearranjando para encontrar
:
Resposta
A altura máxima alcançada pela bola é de aproximadamente 30,0 metros.