A posição de uma partícula em movimento é dada como uma função do tempo por
onde são constantes. Descreva a órbita (trajetória) da partícula.

Passo 1

Vamos analisar o problema dado. Temos a posição de uma partícula em movimento descrita pela função vetorial:
O conteúdo envolvido aqui está na cinemática vetorial, especificamente no estudo de trajetórias no espaço tridimensional. Para descrever a órbita da partícula, precisamos entender como as componentes de se comportam ao longo do tempo e como elas se combinam para formar a trajetória completa.

Passo 2

Primeiro, vamos observar as componentes em cada direção:
  • Componente em :
  • Componente em :
  • Componente em :
As primeiras duas componentes ( e ) representam movimentos harmônicos senoidais em plano, enquanto a componente representa um movimento retilíneo uniforme ao longo do eixo z.

Passo 3

Vamos analisar primeiro o movimento no plano - . As equações paramétricas:
Estas são as equações paramétricas de uma elipse, onde e são os semi-eixos de comprimento nas direções x e y, respectivamente. A frequência angular determina a rapidez com que a partícula percorre a elipse.

Passo 4

Enquanto a partícula se move em uma elipse no plano - , simultaneamente ela avança uniformemente ao longo do eixo z, conforme:
Isso significa que a posição z aumenta linearmente com o tempo. Portanto, a partícula não se limita a ficar em um único plano, mas sim desenvolve sua trajetória ao longo do eixo z enquanto descreve a elipse.

Passo 5

Combinando esses movimentos, a trajetória total da partícula é uma hélice elíptica. Em vez de uma hélice circular, como ocorreria se , a forma da hélice é alongada ou achatada dependendo dos valores de e . A velocidade determina a inclinação da hélice ao longo do eixo z.

Resposta

A órbita da partícula é uma hélice elíptica que se desenvolve ao longo do eixo z, combinando um movimento elíptico no plano x-y com um movimento retilíneo uniforme na direção z.

Exercícios relacionados

Considere um barco sem massa de comprimento na água sem atrito. Na extremidade esquerda há uma pessoa de massa segurando uma bola de massa (trate como um ponto). Na outra extremidade há uma pessoa de massa . Em lança a bola para a uma velocidade . Quanto tempo a bola demora para chegar em ? (Resp.: (b) ;
Uma bala de massa igual a é disparada horizontalmente para dentro de um bloco de madeira de em repouso sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é de 0,2 . A bala pára no bloco, que desliza exatamente para frente por (sem rotação). qual a velocidade do bloco imediatamente após a bala parar em relação a ele? (Resp.: (a) 2,7
Uma bola de golfe é atirada do nível do solo com uma velocidade na direção leste e com angulo acima da horizontal. Desprezando a resistência do ar, use a segunda lei de Newton para determinar a posição como uma função do tempo, usando coordenadas onde mede na direção leste, , na direção norte e , verticalmente para cima. Determine o tempo para a bola de golfe retornar ao solo e qual o alcance da bola para esse tempo.
Existem alguns problemas unidimensionais simples para os quais a equação de movimento (segunda lei de Newton) pode ser resolvida, ou pelo menos reduzida a um problema envolvendo a resolução de uma integral. Um desses é o movimento unidimensional de uma partícula sujeita a uma força que depende apenas da velocidade v, ou seja, v). Escreva a segunda lei de Newton e separe as variáveis reescrevendo-a como . Agora, integre ambos os lados dessa equação e mostre que
Desde que você consiga resolver a integral, essa fornece como função de . Você pode, então, resolver para obter como função de . Use esse método (separação de variáveis) para resolver o caso especial em que , uma constante, e comente o resultado.