A posição de uma partícula em movimento é dada como uma função do tempo por
r(t)=x b cos (omega t)+y csen(omega t)+z vo t
onde b, c, vo e omega são constantes. Descreva a órbita (trajetória) da partícula.

Passo 1

Vamos analisar o problema dado. Temos a posição de uma partícula em movimento descrita pela função vetorial:
r(t) = x , b cos (omega t) + y , c sin (omega t) + z , v0 t
O conteúdo envolvido aqui está na cinemática vetorial, especificamente no estudo de trajetórias no espaço tridimensional. Para descrever a órbita da partícula, precisamos entender como as componentes de r(t) se comportam ao longo do tempo e como elas se combinam para formar a trajetória completa.

Passo 2

Primeiro, vamos observar as componentes em cada direção:
  • Componente em x: x(t) = b cos (omega t)
  • Componente em y: y(t) = c sin (omega t)
  • Componente em z: z(t) = v0 t
As primeiras duas componentes ( x(t) e y(t)) representam movimentos harmônicos senoidais em plano, enquanto a componente z(t) representa um movimento retilíneo uniforme ao longo do eixo z.

Passo 3

Vamos analisar primeiro o movimento no plano x- y. As equações paramétricas:
x(t) = b cos (omega t), y(t) = c sin (omega t)
Estas são as equações paramétricas de uma elipse, onde b e c são os semi-eixos de comprimento nas direções x e y, respectivamente. A frequência angular omega determina a rapidez com que a partícula percorre a elipse.

Passo 4

Enquanto a partícula se move em uma elipse no plano x- y, simultaneamente ela avança uniformemente ao longo do eixo z, conforme:
z(t) = v0 t
Isso significa que a posição z aumenta linearmente com o tempo. Portanto, a partícula não se limita a ficar em um único plano, mas sim desenvolve sua trajetória ao longo do eixo z enquanto descreve a elipse.

Passo 5

Combinando esses movimentos, a trajetória total da partícula é uma hélice elíptica. Em vez de uma hélice circular, como ocorreria se b = c, a forma da hélice é alongada ou achatada dependendo dos valores de b e c. A velocidade v0 determina a inclinação da hélice ao longo do eixo z.

Resposta

A órbita da partícula é uma hélice elíptica que se desenvolve ao longo do eixo z, combinando um movimento elíptico no plano x-y com um movimento retilíneo uniforme na direção z.

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