A posição de uma partícula em movimento é dada como uma função do tempo por
onde
são constantes. Descreva a órbita (trajetória) da partícula.
Passo 1
Vamos analisar o problema dado. Temos a posição de uma partícula em movimento descrita pela função vetorial:
O conteúdo envolvido aqui está na cinemática vetorial, especificamente no estudo de trajetórias no espaço tridimensional. Para descrever a órbita da partícula, precisamos entender como as componentes de
se comportam ao longo do tempo e como elas se combinam para formar a trajetória completa.
Passo 2
Primeiro, vamos observar as componentes em cada direção:
- Componente em
: - Componente em
: - Componente em
:
As primeiras duas componentes (
e
) representam movimentos harmônicos senoidais em plano, enquanto a componente
representa um movimento retilíneo uniforme ao longo do eixo z.
Passo 3
Vamos analisar primeiro o movimento no plano
-
. As equações paramétricas:
Estas são as equações paramétricas de uma elipse, onde
e
são os semi-eixos de comprimento nas direções x e y, respectivamente. A frequência angular
determina a rapidez com que a partícula percorre a elipse.
Passo 4
Enquanto a partícula se move em uma elipse no plano
-
, simultaneamente ela avança uniformemente ao longo do eixo z, conforme:
Isso significa que a posição z aumenta linearmente com o tempo. Portanto, a partícula não se limita a ficar em um único plano, mas sim desenvolve sua trajetória ao longo do eixo z enquanto descreve a elipse.
Passo 5
Combinando esses movimentos, a trajetória total da partícula é uma hélice elíptica. Em vez de uma hélice circular, como ocorreria se
, a forma da hélice é alongada ou achatada dependendo dos valores de
e
. A velocidade
determina a inclinação da hélice ao longo do eixo z.
Resposta
A órbita da partícula é uma hélice elíptica que se desenvolve ao longo do eixo z, combinando um movimento elíptico no plano x-y com um movimento retilíneo uniforme na direção z.
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de massa
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(trate
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. Em
lança a bola para
a uma velocidade
. Quanto tempo a bola demora para chegar em
? (Resp.: (b)
;
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em repouso sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é de 0,2 . A bala pára no bloco, que desliza exatamente para frente por
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v). Escreva a segunda lei de Newton e separe as variáveis reescrevendo-a como
. Agora, integre ambos os lados dessa equação e mostre que
Desde que você consiga resolver a integral, essa fornece
como função de
. Você pode, então, resolver para obter
como função de
. Use esse método (separação de variáveis) para resolver o caso especial em que
, uma constante, e comente o resultado.