Considere um barco sem massa de comprimento L na água sem atrito. Na extremidade esquerda há uma pessoa P1 de massa m1 segurando uma bola de massa m3 (trate P1 como um ponto). Na outra extremidade há uma pessoa P2 de massa m2. Em t=0, P1 lança a bola para P2 a uma velocidade v. Quanto tempo a bola demora para chegar em P2 ? (Resp.: (b) t=L(m1+m2) /(M v);

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver um problema de física envolvendo movimento e conservação de momento. A situação é a seguinte: temos um barco sem massa total, com comprimento , na água sem atrito. Na extremidade esquerda, há uma pessoa com massa segurando uma bola de massa . Na outra extremidade do barco, tem outra pessoa com massa . No instante inicial ( ), lança a bola na direção de com velocidade . A gente precisa descobrir quanto tempo a bola leva para chegar até .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o barco está sem atrito e sem massa, o que simplifica as coisas. Quando lança a bola, há uma troca de momento. A bola ganha um momento para frente, e a pessoa e o barco ganham um momento na direção oposta devido à conservação do momento.

Passo 3

Vamos lembrar da Lei da Conservação do Momento, que diz que, sem forças externas, o momento total do sistema permanece constante. No nosso caso, inicialmente, o sistema está parado, então o momento total é zero. Depois que a bola é lançada, o momento da bola mais o momento das pessoas deve continuar sendo zero:
m3 cdot v + (m1 + m2) cdot V = 0
Aqui, é a velocidade do barco após o lançamento da bola.

Passo 4

Resolvendo a equação para (m1 + m2) cdot V = -m3 cdot v :
V = -m3 cdot vm1 + m2
O sinal negativo indica que o barco se move na direção oposta à da bola.

Passo 5

Agora, queremos saber quanto tempo a bola leva para percorrer o comprimento do barco, que é t = Lv . A distância que a bola percorre é , e ela está se movendo com velocidade . Então, o tempo pode ser encontrado pela fórmula:

Passo 6

Mas precisamos considerar que o barco também está se movendo enquanto a bola é lançada. A velocidade relativa da bola em relação ao barco é a soma das velocidades da bola e do barco. Como o barco se move na direção oposta, a velocidade relativa é:
vrelativa = v - V = v + m3 cdot vm1 + m2
vrelativa = v (1 + m3m1 + m2) = v cdot m1 + m2 + m3m1 + m2

Passo 7

Então, o tempo t = Lvrelativa = L (m1 + m2)v (m1 + m2 + m3) fica:

Resposta

O tempo que a bola demora para chegar em t = L (m1 + m2)M v é:
onde .

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