Uma bola homogênea de massa M=8 kg e raio R rola suavemente, a partir del reposo, descendo uma rampa inclinada de ângulo theta =30 grados. A bola descee uma distância vertical H=1,20 m para llegar a base da rampa. b) Calcule la força de atrito estático para que dicho rolamento sia possível.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos dizendo e o que precisamos para resolver. Temos uma bola homogênea com massa M = 8,kg e raio R que está rolando sem escorregar por uma rampa inclinada de theta = 30^circ. A bola desce uma altura vertical H = 1,20,m até a base da rampa. Precisamos calcular a força de atrito estático que permite que a bola role sem escorregar. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e as leis de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para a bola rolar sem escorregar, a força de atrito estático é essencial. Essa força evita que a bola deslize e garante que ela role de maneira suave.

Passo 3

Vamos considerar as forças atuando na bola. Na direção ao longo da rampa, temos a componente da força da gravidade ( Mg sin theta) puxando a bola para baixo e a força de atrito estático ( Ff) atuando na direção oposta. De acordo com a segunda lei de Newton:
Mg sin theta - Ff = Ma
Onde a é a aceleração da bola.

Passo 4

Agora, vamos analisar o torque causado pela força de atrito. O torque ( tau) é dado por:
tau = Ff cdot R = I cdot alpha
Aqui, I é o momento de inércia da bola e alpha é a aceleração angular. Para uma bola homogênea, o momento de inércia é:
I = 25 M R^2

Passo 5

Sabemos que a aceleração linear ( a) está relacionada com a aceleração angular ( alpha) pela relação:
a = R cdot alpha
Substituindo alpha na equação do torque:
Ff cdot R = 25 M R^2 cdot aR Rightarrow Ff = 25 M a

Passo 6

Agora, vamos substituir Ff na equação da segunda lei de Newton:
Mg sin theta - 25 M a = M a Rightarrow Mg sin theta = 75 M a
Simplificando, encontramos a aceleração:
a = 57 g sin theta
Onde g = 9,81,m/s^2 é a aceleração da gravidade.

Passo 7

Substituindo a de volta na expressão para Ff:
Ff = 25 M cdot 57 g sin theta = 27 M g sin theta

Passo 8

Agora, vamos calcular sin theta. Como theta = 30^circ:
sin 30^circ = 0,5
Então:
Ff = 27 cdot 8,kg cdot 9,81,m/s^2 cdot 0,5 = 27 cdot 8 cdot 9,81 cdot 0,5

Passo 9

Calculando os valores:
Ff = 27 cdot 8 cdot 9,81 cdot 0,5 = 27 cdot 8 cdot 4,905 = 27 cdot 39,24 = 78,487 approx 11,21,N

Resposta

A força de atrito estático necessária para que a bola role sem escorregar é aproximadamente Ff approx 11,2,N.

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