Uma bola homogênea de massa
e raio R rola suavemente, a partir del reposo, descendo uma rampa inclinada de ângulo theta
grados. A bola descee uma distância vertical
para llegar a base da rampa. b) Calcule la força de atrito estático para que dicho rolamento sia possível.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos dizendo e o que precisamos para resolver. Temos uma bola homogênea com massa
e raio
que está rolando sem escorregar por uma rampa inclinada de
. A bola desce uma altura vertical
até a base da rampa. Precisamos calcular a força de atrito estático que permite que a bola role sem escorregar. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e as leis de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para a bola rolar sem escorregar, a força de atrito estático é essencial. Essa força evita que a bola deslize e garante que ela role de maneira suave.
Passo 3
Vamos considerar as forças atuando na bola. Na direção ao longo da rampa, temos a componente da força da gravidade (
) puxando a bola para baixo e a força de atrito estático (
) atuando na direção oposta. De acordo com a segunda lei de Newton:
Onde
é a aceleração da bola.
Passo 4
Agora, vamos analisar o torque causado pela força de atrito. O torque (
) é dado por:
Aqui,
é o momento de inércia da bola e
é a aceleração angular. Para uma bola homogênea, o momento de inércia é:
Passo 5
Sabemos que a aceleração linear (
) está relacionada com a aceleração angular (
) pela relação:
Substituindo
na equação do torque:
Passo 6
Agora, vamos substituir
na equação da segunda lei de Newton:
Simplificando, encontramos a aceleração:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 7
Substituindo
de volta na expressão para
:
Passo 8
Agora, vamos calcular
. Como
:
Então:
Passo 9
Calculando os valores:
Resposta
A força de atrito estático necessária para que a bola role sem escorregar é aproximadamente
.
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