Uma bola homogênea de massa e raio R rola suavemente, a partir del reposo, descendo uma rampa inclinada de ângulo theta grados. A bola descee uma distância vertical para llegar a base da rampa. b) Calcule la força de atrito estático para que dicho rolamento sia possível.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos dizendo e o que precisamos para resolver. Temos uma bola homogênea com massa e raio que está rolando sem escorregar por uma rampa inclinada de . A bola desce uma altura vertical até a base da rampa. Precisamos calcular a força de atrito estático que permite que a bola role sem escorregar. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e as leis de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para a bola rolar sem escorregar, a força de atrito estático é essencial. Essa força evita que a bola deslize e garante que ela role de maneira suave.

Passo 3

Vamos considerar as forças atuando na bola. Na direção ao longo da rampa, temos a componente da força da gravidade ( ) puxando a bola para baixo e a força de atrito estático ( ) atuando na direção oposta. De acordo com a segunda lei de Newton:
Onde é a aceleração da bola.

Passo 4

Agora, vamos analisar o torque causado pela força de atrito. O torque ( ) é dado por:
Aqui, é o momento de inércia da bola e é a aceleração angular. Para uma bola homogênea, o momento de inércia é:

Passo 5

Sabemos que a aceleração linear ( ) está relacionada com a aceleração angular ( ) pela relação:
Substituindo na equação do torque:

Passo 6

Agora, vamos substituir na equação da segunda lei de Newton:
Simplificando, encontramos a aceleração:
Onde é a aceleração da gravidade.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para :

Passo 8

Agora, vamos calcular . Como :
Então:

Passo 9

Calculando os valores:

Resposta

A força de atrito estático necessária para que a bola role sem escorregar é aproximadamente .

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