Uma bola homogênea de massa M=8 kg e raio R rola suavemente, a partir del reposo, descendo uma rampa inclinada de ângulo theta =30 grados. A bola descee uma distância vertical H=1,20 m para llegar a base da rampa. c) Calcule la aceleração lineal com que la bola llega a la base da rampa,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma bola de massa M=8,kg e raio R que rola sem deslizar descendo uma rampa inclinada de theta=30^circ. Ela desce uma altura vertical de H=1,20,m. Nosso objetivo aqui é calcular a aceleração linear com que a bola chega à base da rampa.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento de rotação e cinemática. Vamos usar as leis de Newton para transllação e rotação, além de conhecer o momento de inércia de uma esfera homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando um objeto rola sem deslizar, há uma relação entre a aceleração linear ( a) e a aceleração angular ( alpha):
a = alpha R
Isso significa que a aceleração linear da bola está diretamente relacionada à sua aceleração de rotação.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para a tradução do centro de massa da bola. A força que faz a bola acelerar para baixo na rampa é a componente do peso na direção da rampa, que é Mgsintheta. Ao mesmo tempo, parte dessa força está sendo usada para fazer a bola girar. Então, temos:
Mgsintheta - F = Ma
Onde F é a força de atrito que impede o deslizamento.

Passo 4

Para a rotação, aplicamos a segunda lei de Newton para rotação:
FR = Ialpha
Sabemos que I é o momento de inércia de uma esfera homogênea, que é:
I = 25MR^2

Passo 5

Substituindo I na equação de rotação e lembrando que a = alpha R, temos:
FR = 25MR^2 cdot aR
Simplificando:
F = 25Ma

Passo 6

Agora, voltamos à equação de força linear:
Mgsintheta - 25Ma = Ma
Podemos cancelar a massa M dos dois lados:
gsintheta - 25a = a

Passo 7

Vamos isolar a:
gsintheta = a + 25a
gsintheta = 75a
a = 57gsintheta

Passo 8

Agora, substituímos os valores numéricos. Sabemos que g = 9,81,m/s^2 e theta = 30^circ. Primeiro, calculamos sin(30^circ):
sin(30^circ) = 0,5
Então:
a = 57 times 9,81 times 0,5
a = 57 times 4,905
a approx 24,5257
a approx 3,503,m/s^2

Resposta

A aceleração linear com que a bola chega à base da rampa é aproximadamente 3,50,m/s^2.

Exercícios relacionados