Uma bola homogênea de massa e raio R rola suavemente, a partir del reposo, descendo uma rampa inclinada de ângulo theta grados. A bola descee uma distância vertical para llegar a base da rampa. c) Calcule la aceleração lineal com que la bola llega a la base da rampa,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma bola de massa e raio que rola sem deslizar descendo uma rampa inclinada de . Ela desce uma altura vertical de . Nosso objetivo aqui é calcular a aceleração linear com que a bola chega à base da rampa.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento de rotação e cinemática. Vamos usar as leis de Newton para transllação e rotação, além de conhecer o momento de inércia de uma esfera homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando um objeto rola sem deslizar, há uma relação entre a aceleração linear ( ) e a aceleração angular ( ):
Isso significa que a aceleração linear da bola está diretamente relacionada à sua aceleração de rotação.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para a tradução do centro de massa da bola. A força que faz a bola acelerar para baixo na rampa é a componente do peso na direção da rampa, que é . Ao mesmo tempo, parte dessa força está sendo usada para fazer a bola girar. Então, temos:
Onde é a força de atrito que impede o deslizamento.

Passo 4

Para a rotação, aplicamos a segunda lei de Newton para rotação:
Sabemos que é o momento de inércia de uma esfera homogênea, que é:

Passo 5

Substituindo na equação de rotação e lembrando que , temos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, voltamos à equação de força linear:
Podemos cancelar a massa dos dois lados:

Passo 7

Vamos isolar :

Passo 8

Agora, substituímos os valores numéricos. Sabemos que e . Primeiro, calculamos :
Então:

Resposta

A aceleração linear com que a bola chega à base da rampa é aproximadamente .

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Uma bola homogênea de massa e raio R rola suavemente, a partir del reposo, descendo uma rampa inclinada de ângulo theta grados. A bola descee uma distância vertical para llegar a base da rampa. a) indique todas as forzas actuantes sobre la bola (considere el exe-x apuntando em direccion creciente de la rampa).
Considere os vetores de deslocamento abaixo, sabendo que cada quadrado está na medida de . Calcule o deslocamento resultante de:
f) .