Uma bola homogênea de massa
e raio R rola suavemente, a partir del reposo, descendo uma rampa inclinada de ângulo theta
grados. A bola descee uma distância vertical
para llegar a base da rampa. c) Calcule la aceleração lineal com que la bola llega a la base da rampa,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma bola de massa
e raio
que rola sem deslizar descendo uma rampa inclinada de
. Ela desce uma altura vertical de
. Nosso objetivo aqui é calcular a aceleração linear com que a bola chega à base da rampa.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento de rotação e cinemática. Vamos usar as leis de Newton para transllação e rotação, além de conhecer o momento de inércia de uma esfera homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando um objeto rola sem deslizar, há uma relação entre a aceleração linear (
) e a aceleração angular (
):
Isso significa que a aceleração linear da bola está diretamente relacionada à sua aceleração de rotação.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para a tradução do centro de massa da bola. A força que faz a bola acelerar para baixo na rampa é a componente do peso na direção da rampa, que é
. Ao mesmo tempo, parte dessa força está sendo usada para fazer a bola girar. Então, temos:
Onde
é a força de atrito que impede o deslizamento.
Passo 4
Para a rotação, aplicamos a segunda lei de Newton para rotação:
Sabemos que
é o momento de inércia de uma esfera homogênea, que é:
Passo 5
Substituindo
na equação de rotação e lembrando que
, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, voltamos à equação de força linear:
Podemos cancelar a massa
dos dois lados:
Passo 7
Vamos isolar
:
Passo 8
Agora, substituímos os valores numéricos. Sabemos que
e
. Primeiro, calculamos
:
Então:
Resposta
A aceleração linear com que a bola chega à base da rampa é aproximadamente
.