Um corpo é jogado de um penhasco com uma velocidade inicial v0 e um ângulo alpha com a horizontal. Depois de quanto tempo o vetor velocidade v será perpendicular à velocidade inicial

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um corpo que é lançado de um penhasco com uma velocidade inicial $ v_{0} $ formando um ângulo $ \alpha $ com a horizontal. A gente precisa descobrir depois de quanto tempo o vetor velocidade $ v $ ficará perpendicular à velocidade inicial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e produto escalar de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as componentes da velocidade inicial. Quando jogamos um objeto com um ângulo, a velocidade inicial se divide em duas partes:
  • Componente horizontal ($ v_{0x} $): $ v_{0x} = v_{0} \cos \alpha $
  • Componente vertical ($ v_{0y} $): $ v_{0y} = v_{0} \sin \alpha $
Essas componentes ajudam a analisar o movimento em cada direção separadamente.

Passo 3

Agora, vamos observar como a velocidade do corpo muda com o tempo. Na direção horizontal, não tem aceleração (vamos ignorar o atrito do ar), então a componente da velocidade horizontal permanece constante:
vx = v0x = v0 cos alpha
Já na direção vertical, a única força atuando é a gravidade, que desacelera o movimento para cima e acelera para baixo. A componente da velocidade vertical no tempo $ t $ é:
t
onde $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s² $).

Passo 4

Queremos que o vetor velocidade $ v $ no tempo $ t $ seja perpendicular à velocidade inicial. Dois vetores são perpendiculares quando o produto escalar entre eles é zero. O produto escalar é dado por:
v
Substituindo as componentes que já temos:
t

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
v0^2 cos^2 alpha + v0^2 sin^2 alpha - v0 g t sin alpha = 0
Perceba que $ v_{0}^2 \cos^2 \alpha + v_{0}^2 \sin^2 \alpha = v_{0}^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = v_{0}^2 $, já que $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $. Então:
v0^2 cos^2 alpha + v0^2 sin^2 alpha = v0^2 (cos^2 alpha + sin^2 alpha) = v0^2

Passo 6

Agora, vamos isolar o tempo $ t $:
t
v0^2 = v0 g t sin alpha
t = v0^2v0 g sin alpha

Resposta

O tempo após o qual o vetor velocidade será perpendicular à velocidade inicial é:
t = v0g sin alpha

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