Uma bola é lançada de uma altura de 2 m com uma velocidade de módulo 3 raiz2 m / s a um ângulo 45^circ com a horizontal. Use g=10 m / s^2.
Quando a bola atinge o chão?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola lançada de uma altura de 2 metros com uma velocidade inicial de módulo em um ângulo de com a horizontal. Queremos descobrir em quanto tempo a bola vai atingir o chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, que lidam com o movimento dos objetos, e vamos precisar decompor a velocidade inicial nas suas componentes horizontal e vertical.

Passo 2

Vamos começar decompondo a velocidade inicial nas direções horizontal e vertical. Sabemos que:
v0x = v0 cos(theta)
v0y = v0 sin(theta)
Onde:
  • v0x = 3raiz2 times cos(45^circ) = 3raiz2 times raiz22 = 3 m/s é a velocidade inicial.
  • v0y = 3raiz2 times sin(45^circ) = 3raiz2 times raiz22 = 3 m/s é o ângulo de lançamento.
Calculando:
Então, a componente horizontal da velocidade é e a componente vertical também é .

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento na direção vertical. A bola é lançada de uma altura inicial y(t) = y0 + v0y t + 12 a t^2 com uma velocidade vertical inicial . A aceleração devido à gravidade é (que atua para baixo, então usaremos ).
Usamos a equação do movimento vertical:
Queremos encontrar o tempo quando a bola atinge o chão, ou seja, quando .

Passo 4

Substituindo os valores na equação:
0 = 2 + 3t - 5t^2
Rearranjando a equação:
5t^2 - 3t - 2 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o valor de t = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Usamos a fórmula de Bhaskara:
De
Onde:
  • t = 3 pm raiz4910 = 3 pm 710
  • t1 = 3 + 710 = 1 s
  • t2 = 3 - 710 = -0,4 s
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas soluções:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos .

Resposta

A bola atinge o chão após 1 segundo.

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