Uma bola é lançada de uma altura de 2 m com uma velocidade de módulo 3 raiz2 m / s a um ângulo 45^circ com a horizontal. Use g=10 m / s^2.
Qual é o módulo da velocidade quando a bola atinge o chão?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma bola lançada de uma altura de 2 metros com uma velocidade inicial de 3 raiz2, m/s, num ângulo de 45^circ com a horizontal. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade da bola quando ela atinge o chão. Para isso, vamos usar conceitos de movimento de projétil e cinemática. Vamos precisar separar a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical, calcular o tempo que a bola leva para tocar o chão e, por fim, encontrar a velocidade final.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial nas direções horizontal e vertical. Sabemos que:
v0x = v0 cos(theta)
v0y = v0 sin(theta)
Onde v0 = 3 raiz2, m/s e theta = 45^circ. Como cos(45^circ) = sin(45^circ) = raiz22, temos:
v0x = 3 raiz2 times raiz22 = 3, m/s
v0y = 3 raiz2 times raiz22 = 3, m/s

Passo 3

Agora, vamos calcular o tempo que a bola leva para atingir o chão. Para isso, usamos a equação da posição vertical:
y = y0 + v0y t - 12 g t^2
Onde:
  • y é a posição final (0 m, no chão),
  • y0 é a altura inicial (2 m),
  • v0y é a velocidade vertical inicial (3 m/s),
  • g é a aceleração da gravidade (10 m/s²),
  • t é o tempo.
Substituindo os valores:
0 = 2 + 3 t - 5 t^2
Isso resulta na equação quadrática:
5 t^2 - 3 t - 2 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o tempo t. Usando a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Onde a = 5, b = -3, e c = -2. Calculando o discriminante:
De
Então,
t = 3 pm raiz4910 = 3 pm 710
Desconsideramos a solução negativa, pois o tempo não pode ser negativo:
t = 3 + 710 = 1, s

Passo 5

Com o tempo de 1 segundo, vamos agora encontrar a velocidade vertical quando a bola atinge o chão. Usamos a equação da velocidade vertical:
vy = v0y - g t
Substituindo os valores:
vy = 3 - 10 times 1 = -7, m/s
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo.

Passo 6

Agora, temos as componentes da velocidade no momento em que a bola atinge o chão:
vx = 3, m/s (constante, pois não há ace<=ração na horizontal) ãáçã
vy = -7, m/s
Para encontrar o módulo da velocidade total, usamos o teorema de Pitágoras:
v = raizvx^2 + vy^2 = raiz3^2 + (-7)^2 = raiz9 + 49 = raiz58

Resposta

O módulo da velocidade quando a bola atinge o chão é raiz58, m/s, aproximadamente 7,62, m/s.

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