Uma bola é lançada de uma altura de 2 m com uma velocidade de módulo 3 raiz2 m / s a um ângulo 45^circ com a horizontal. Use g=10 m / s^2.
Determine as expressões de v(t) e r(t).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema de lançamento de projétil. A bola é lançada de uma altura de 2 metros com uma velocidade de 3 raiz2 m/s formando um ângulo de 45^circ com a horizontal. A gente precisa descobrir as expressões para a velocidade v(t) e a posição r(t) em função do tempo. Para isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente variado, considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s^2.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nos eixos horizontal e vertical. Como o ângulo é 45^circ, as componentes ficam iguais. A fórmula para isso é:
v0x = v0 cos(theta)
v0y = v0 sin(theta)
Substituindo os valores:
v0x = 3 raiz2 cos(45^circ) = 3 raiz2 times raiz22 = 3 , m/s
v0y = 3 raiz2 sin(45^circ) = 3 raiz2 times raiz22 = 3 , m/s

Passo 3

Agora, vamos escrever a expressão para a velocidade em cada direção. A velocidade horizontal vx(t) permanece constante, já que não tem aceleração nessa direção:
vx(t) = v0x = 3 , m/s
Já a velocidade vertical vy(t) varia devido à aceleração da gravidade:
vy(t) = v0y - g t = 3 - 10 t , m/s

Passo 4

Juntando as componentes, a expressão vetorial da velocidade fica:
v(t) = vx(t) i + vy(t) j = 3 i + (3 - 10 t) j , m/s

Passo 5

Agora, vamos para a posição. A posição horizontal x(t) é dada por:
x(t) = v0x t = 3 t , m
A posição vertical y(t) leva em conta a altura inicial e a variação pela velocidade e aceleração:
y(t) = y0 + v0y t - 12 g t^2 = 2 + 3 t - 5 t^2 , m

Passo 6

Então, a expressão vetorial para a posição é:
r(t) = x(t) i + y(t) j = 3 t i + (2 + 3 t - 5 t^2) j , m

Resposta

As expressões das funções vetoriais são:
v(t) = 3 i + (3 - 10 t) j , m/s
e
r(t) = 3 t i + (2 + 3 t - 5 t^2) j , m

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