Uma bola é lançada de uma altura de 2 m com uma velocidade de módulo 3 raiz2 m / s a um ângulo 45^circ com a horizontal. Use g=10 m / s^2.
Qual é o alcance horizontal máximo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de movimento de projétil! Temos uma bola que é lançada de uma altura de 2 metros com uma velocidade de formando um ângulo de com a horizontal. Vamos precisar usar conceitos de física de projéteis, decompor a velocidade em componentes horizontal e vertical, e aplicar as equações do movimento vertical e horizontal. Nosso objetivo é encontrar o alcance horizontal máximo, ou seja, a distância que a bola percorre na horizontal antes de cair no chão.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas componentes horizontal ( vx = v cdot cos(45^circ) = 3raiz2 cdot raiz22 = 3 m/s ) e vertical ( vy = v cdot sin(45^circ) = 3raiz2 cdot raiz22 = 3 m/s ). Como o ângulo é , usamos seno e cosseno de , que são ambos iguais a .

Passo 3

Agora, vamos determinar o tempo total que a bola fica no ar. Para isso, analisamos o movimento vertical. A equação do movimento vertical é:
y(t) = y0 + vy t - 12 g t^2
Sabemos que a bola parte de uma altura 0 = 2 + 3 t - 5 t^2 m e toca o chão quando . Substituindo os valores:
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar o tempo .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática t = 3 pm raiz9 + 4010 = 3 pm raiz4910 = 3 pm 710 usando a fórmula de Bhaskara:
t = 3 + 710 = 1 s
Descartamos a solução negativa:
Então, o tempo total no ar é de 1 segundo.

Passo 5

Finalmente, para encontrar o alcance horizontal ( R = vx cdot t ), usamos a equação:
R = 3 m/s cdot 1 s = 3 m
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

O alcance horizontal máximo é de 3 metros.

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