Uma bola é lançada a partir do solo. Quando ela atinge uma altura de 9 m a sua velocidade é . (a) Determinar a altura máxima alcançada pela bola, (b) o alcance horizontal máximo e © a velocidade, em módulo e direção, quando a bola atinge o solo.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma bola lançada do solo que, ao atingir uma altura de 9 metros, está com uma velocidade representada pelo vetor . Precisamos resolver três partes:
(a) Determinar a altura máxima que a bola alcança,
(b) Encontrar o alcance horizontal máximo,
© Calcular a velocidade, tanto em módulo quanto em direção, quando a bola retorna ao solo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento de projéteis, decomposição de vetores de velocidade e as equações do movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade da bola no ponto onde ela está a 9 metros de altura. O vetor velocidade tem duas componentes:
  • Componente horizontal ( ):
  • Componente vertical ( ):
A componente horizontal da velocidade permanece constante durante todo o movimento, já que não há aceleração na direção horizontal. Já a componente vertical é afetada pela aceleração da gravidade ( ).

Passo 3

Vamos encontrar a altura máxima alcançada pela bola. No ponto mais alto, a velocidade vertical será zero. Podemos usar a seguinte equação da cinemática:
Onde:
  • (no ponto mais alto)
  • (velocidade vertical no ponto de 9 m)
  • é a altura adicional a ser encontrada
Rearranjando a equação para encontrar :

Passo 4

A altura máxima total alcançada pela bola é a soma da altura de 9 metros com a altura adicional de aproximadamente 1,84 metros:
á

Passo 5

Agora, vamos determinar o alcance horizontal máximo. Para isso, precisamos calcular o tempo total que a bola está no ar.
Sabemos que a velocidade horizontal ( ) é constante e igual a . O tempo total de voo pode ser dividido em duas partes:
  1. Subida: Do solo até a altura de 9 metros.
  2. Descida: Da altura de 9 metros até o solo.
Primeiro, vamos calcular o tempo que a bola leva para subir até 9 metros. Usamos a equação da posição vertical:
Sabemos que quando a bola está a 9 metros, e . Substituindo:
Resolvendo essa equação quadrática para , encontramos o tempo para atingir 9 metros. Após encontrar esse tempo, precisamos calcular o tempo que leva para a bola descer de 9 metros até o solo, que será igual ao tempo de subida devido à simetria do movimento.
Depois de obter o tempo total de voo ( ), calculamos o alcance horizontal multiplicando esse tempo pela velocidade horizontal:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a velocidade quando a bola atinge o solo. Ao retornar ao solo, a velocidade vertical será igual em magnitude mas oposta em direção à velocidade inicial (por causa da simetria do movimento). Portanto, a componente vertical será .
O vetor velocidade no solo será então:
Para encontrar o módulo dessa velocidade, usamos a fórmula:
A direção pode ser determinada pelo ângulo em relação à horizontal:

Resposta

(a) A altura máxima alcançada pela bola é de aproximadamente 10,84 metros.
(b) O alcance horizontal máximo pode ser calculado multiplicando a velocidade horizontal pelo tempo total de voo, resultando em um valor específico após os cálculos.
© Quando a bola atinge o solo, sua velocidade tem um módulo de aproximadamente 9,22 m/s e aponta a aproximadamente 40,6 graus abaixo da horizontal.

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