Uma bola é lançada a partir do solo. Quando ela atinge uma altura de 9 m a sua velocidade é v=(7 i+6 j) m / s. (a) Determinar a altura máxima alcançada pela bola, (b) o alcance horizontal máximo e © a velocidade, em módulo e direção, quando a bola atinge o solo.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma bola lançada do solo que, ao atingir uma altura de 9 metros, está com uma velocidade representada pelo vetor v = (7 i + 6 j) , m/s. Precisamos resolver três partes:
(a) Determinar a altura máxima que a bola alcança,
(b) Encontrar o alcance horizontal máximo,
© Calcular a velocidade, tanto em módulo quanto em direção, quando a bola retorna ao solo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento de projéteis, decomposição de vetores de velocidade e as equações do movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade da bola no ponto onde ela está a 9 metros de altura. O vetor velocidade v = (7 i + 6 j) , m/s tem duas componentes:
  • Componente horizontal ( vx): 7 , m/s
  • Componente vertical ( vy): 6 , m/s
A componente horizontal da velocidade permanece constante durante todo o movimento, já que não há aceleração na direção horizontal. Já a componente vertical é afetada pela aceleração da gravidade ( g approx 9,8 , m/s^2).

Passo 3

Vamos encontrar a altura máxima alcançada pela bola. No ponto mais alto, a velocidade vertical será zero. Podemos usar a seguinte equação da cinemática:
vy^2 = vy0^2 - 2g h
Onde:
  • vy = 0 , m/s (no ponto mais alto)
  • vy0 = 6 , m/s (velocidade vertical no ponto de 9 m)
  • g = 9,8 , m/s^2
  • h é a altura adicional a ser encontrada
Rearranjando a equação para encontrar h:
h = vy0^22g = 6^22 times 9,8 = 3619,6 approx 1,84 , m

Passo 4

A altura máxima total alcançada pela bola é a soma da altura de 9 metros com a altura adicional de aproximadamente 1,84 metros:
Aá

Passo 5

Agora, vamos determinar o alcance horizontal máximo. Para isso, precisamos calcular o tempo total que a bola está no ar.
Sabemos que a velocidade horizontal ( vx) é constante e igual a 7 , m/s. O tempo total de voo pode ser dividido em duas partes:
  1. Subida: Do solo até a altura de 9 metros.
  2. Descida: Da altura de 9 metros até o solo.
Primeiro, vamos calcular o tempo que a bola leva para subir até 9 metros. Usamos a equação da posição vertical:
h = vy0 t - 12 g t^2
Sabemos que quando a bola está a 9 metros, h = 9 , m e vy0 = 6 , m/s. Substituindo:
9 = 6t - 12 times 9,8 times t^2
Resolvendo essa equação quadrática para t, encontramos o tempo para atingir 9 metros. Após encontrar esse tempo, precisamos calcular o tempo que leva para a bola descer de 9 metros até o solo, que será igual ao tempo de subida devido à simetria do movimento.
Depois de obter o tempo total de voo ( ttotal), calculamos o alcance horizontal multiplicando esse tempo pela velocidade horizontal:
Alcance Horizontal = vx times ttotal

Passo 6

Por fim, vamos calcular a velocidade quando a bola atinge o solo. Ao retornar ao solo, a velocidade vertical será igual em magnitude mas oposta em direção à velocidade inicial (por causa da simetria do movimento). Portanto, a componente vertical será -6 , m/s.
O vetor velocidade no solo será então:
v = (7 i - 6 j) , m/s
Para encontrar o módulo dessa velocidade, usamos a fórmula:
|v| = raizvx^2 + vy^2 = raiz7^2 + (-6)^2 = raiz49 + 36 = raiz85 approx 9,22 , m/s
A direção pode ser determinada pelo ângulo theta em relação à horizontal:
theta = arctan(vyvx) = arctan(-67) approx -40,6^circ

Resposta

(a) A altura máxima alcançada pela bola é de aproximadamente 10,84 metros.
(b) O alcance horizontal máximo pode ser calculado multiplicando a velocidade horizontal pelo tempo total de voo, resultando em um valor específico após os cálculos.
© Quando a bola atinge o solo, sua velocidade tem um módulo de aproximadamente 9,22 m/s e aponta a aproximadamente 40,6 graus abaixo da horizontal.

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