O vetor
mostra a posição de uma partícula, onde
está em metros e
em segundos. Seja
o ângulo entre a direção do movimento da partícula e o semi-eixo
positivo, a Fig. 1 mostra a dependência desse ângulo com o tempo. Determinar os valores de
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos a posição de uma partícula em função do tempo, dada pelo vetor posição:
Aqui,
está em metros e
em segundos. O ângulo
é o ângulo entre a direção do movimento da partícula e o eixo positivo
. Para resolvermos o exercício, vamos precisar usar conceitos de cinemática vetorial, especialmente relacionados à velocidade da partícula e à relação entre os componentes da velocidade e o ângulo
.
Passo 2
Para encontrar a direção do movimento da partícula, precisamos determinar o vetor velocidade
, que é a derivada da posição em relação ao tempo:
Calculando a derivada de cada componente:
Passo 3
O ângulo
entre a direção do movimento e o eixo positivo
pode ser encontrado usando a tangente desse ângulo, que é a razão entre a componente
e a componente
da velocidade:
De acordo com o enunciado, a Figura 1 mostra como
depende do tempo
. Para determinar os valores de
e
, precisamos de mais informações sobre essa dependência. Suponhamos que o ângulo
seja constante, ou seja, não depende do tempo. Isso implica que a derivada de
em relação a
é zero.
Passo 4
Se
é constante, então:
Calculando a derivada:
Isso implica que:
Passo 5
Com
, a expressão para
fica:
Se o ângulo
é constante, isso significa que
também deve ser constante. No entanto, sem uma informação adicional sobre o valor de
, não podemos determinar um valor numérico específico para
. Mas, se considerarmos que a velocidade na direção
é constante, podemos concluir que
é uma constante que determina o ângulo
.
Passo 6
Resumindo, determinamos que:
E a rela�o entre
e o ângulo
é:
Resposta
Os valores são
e
.