O vetor mostra a posição de uma partícula, onde está em metros e em segundos. Seja o ângulo entre a direção do movimento da partícula e o semi-eixo positivo, a Fig. 1 mostra a dependência desse ângulo com o tempo. Determinar os valores de e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos a posição de uma partícula em função do tempo, dada pelo vetor posição:
Aqui, está em metros e em segundos. O ângulo é o ângulo entre a direção do movimento da partícula e o eixo positivo . Para resolvermos o exercício, vamos precisar usar conceitos de cinemática vetorial, especialmente relacionados à velocidade da partícula e à relação entre os componentes da velocidade e o ângulo .

Passo 2

Para encontrar a direção do movimento da partícula, precisamos determinar o vetor velocidade , que é a derivada da posição em relação ao tempo:
Calculando a derivada de cada componente:

Passo 3

O ângulo entre a direção do movimento e o eixo positivo pode ser encontrado usando a tangente desse ângulo, que é a razão entre a componente e a componente da velocidade:
De acordo com o enunciado, a Figura 1 mostra como depende do tempo . Para determinar os valores de e , precisamos de mais informações sobre essa dependência. Suponhamos que o ângulo seja constante, ou seja, não depende do tempo. Isso implica que a derivada de em relação a é zero.

Passo 4

Se é constante, então:
Calculando a derivada:
Isso implica que:

Passo 5

Com , a expressão para fica:
Se o ângulo é constante, isso significa que também deve ser constante. No entanto, sem uma informação adicional sobre o valor de , não podemos determinar um valor numérico específico para . Mas, se considerarmos que a velocidade na direção é constante, podemos concluir que é uma constante que determina o ângulo .

Passo 6

Resumindo, determinamos que:
E a relaç��o entre e o ângulo é:

Resposta

Os valores são e .

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