O vetor r(t)=5 t i+(b t+c t^2) j mostra a posição de uma partícula, onde r está em metros e t em segundos. Seja theta o ângulo entre a direção do movimento da partícula e o semi-eixo x positivo, a Fig. 1 mostra a dependência desse ângulo com o tempo. Determinar os valores de b e c.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos a posição de uma partícula em função do tempo, dada pelo vetor posição:
r(t) = 5t, i + (b t + c t^2), j
Aqui, r(t) está em metros e t em segundos. O ângulo theta é o ângulo entre a direção do movimento da partícula e o eixo positivo x. Para resolvermos o exercício, vamos precisar usar conceitos de cinemática vetorial, especialmente relacionados à velocidade da partícula e à relação entre os componentes da velocidade e o ângulo theta.

Passo 2

Para encontrar a direção do movimento da partícula, precisamos determinar o vetor velocidade v(t), que é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = dr(t)dt = ddt(5t, i + (b t + c t^2), j)
Calculando a derivada de cada componente:
v(t) = 5, i + (b + 2c t), j

Passo 3

O ângulo theta entre a direção do movimento e o eixo positivo x pode ser encontrado usando a tangente desse ângulo, que é a razão entre a componente y e a componente x da velocidade:
tan(theta) = vyvx = b + 2c t5
De acordo com o enunciado, a Figura 1 mostra como theta depende do tempo t. Para determinar os valores de b e c, precisamos de mais informações sobre essa dependência. Suponhamos que o ângulo theta seja constante, ou seja, não depende do tempo. Isso implica que a derivada de tan(theta) em relação a t é zero.

Passo 4

Se theta é constante, então:
ddt(tan(theta)) = 0
Calculando a derivada:
ddt(b + 2c t5) = 2c5 = 0
Isso implica que:
2c = 0 Rightarrow c = 0

Passo 5

Com c = 0, a expressão para tan(theta) fica:
tan(theta) = b5
Se o ângulo theta é constante, isso significa que b também deve ser constante. No entanto, sem uma informação adicional sobre o valor de theta, não podemos determinar um valor numérico específico para b. Mas, se considerarmos que a velocidade na direção y é constante, podemos concluir que b é uma constante que determina o ângulo theta.

Passo 6

Resumindo, determinamos que:
c = 0
E a relaç��o entre b e o ângulo theta é:
b = 5 tan(theta)

Resposta

Os valores são c = 0 e b = 5, tan(theta).

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