Um carro viaja num plano com aceleração constante . (a) Se a velocidade inicial tem componentes e , determinar a velocidade do carro quando atinge a maior coordenada . (b) Se a posição inicial vem dado pelo vetor , determinar o vetor de posição como função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento com aceleração constante. A gente tem um carro que se move no plano xy com uma aceleração . A questão tem duas partes:
(a) Determinar a velocidade do carro quando ele atinge a maior coordenada y.
(b) Encontrar o vetor posição em função do tempo, sabendo que a posição inicial é .
Vamos precisar usar as equações do movimento com aceleração constante para resolver.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Queremos achar a velocidade quando a coordenada y é máxima. Quando a y é máxima, a componente da velocidade na direção y, , é zero. Então, vamos usar a equação da velocidade:
Onde:
  • é a velocidade inicial na direção y.
  • é a aceleração na direção y.
  • é o tempo.
Como na posição máxima, igualamos a equação a zero e resolvemos para :

Passo 3

Agora que temos o tempo quando a y é máxima, vamos encontrar a componente da velocidade na direção x nesse instante. A aceleração na direção x é constante, então usamos:
Onde:
  • é a velocidade inicial na direção x.
  • é a aceleração na direção x.
Substituindo os valores:

Passo 4

Então, a velocidade total do carro quando atinge a maior coordenada y tem apenas a componente x, já que . Portanto, a velocidade é:

Passo 5

Agora vamos para a parte (b), onde precisamos determinar o vetor posição como função do tempo, sabendo que a posição inicial é .
Usamos a equação da posição para movimento com aceleração constante:
Onde:
  • é a posição inicial.
  • é a velocidade inicial.
  • é a aceleração.

Passo 6

Vamos calcular cada componente separadamente:
Para a componente x:
Para a componente y:

Passo 7

Juntando as componentes, o vetor posição em função do tempo fica:

Resposta

(a) A velocidade do carro quando atinge a maior coordenada y é .
(b) O vetor posição em função do tempo é:

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