Um carro viaja num plano x y com aceleração constante a=(4 i-2 j) m / s^2. (a) Se a velocidade inicial tem componentes v0 x=8 m / s e v0 y=12 m / s, determinar a velocidade do carro quando atinge a maior coordenada y. (b) Se a posição inicial vem dado pelo vetor r0=i+2 j, determinar o vetor de posição como função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento com aceleração constante. A gente tem um carro que se move no plano xy com uma aceleração . A questão tem duas partes:
(a) Determinar a velocidade do carro quando ele atinge a maior coordenada y.
(b) Encontrar o vetor posição em função do tempo, sabendo que a posição inicial é .
Vamos precisar usar as equações do movimento com aceleração constante para resolver.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Queremos achar a velocidade quando a coordenada y é máxima. Quando a y é máxima, a componente da velocidade na direção y, vy = v0y + ay t , é zero. Então, vamos usar a equação da velocidade:
0 = 12 - 2 t implies t = 6 , s
Onde:
  • é a velocidade inicial na direção y.
  • é a aceleração na direção y.
  • é o tempo.
Como na posição máxima, igualamos a equação a zero e resolvemos para :

Passo 3

Agora que temos o tempo vx = v0x + ax t quando a y é máxima, vamos encontrar a componente da velocidade na direção x nesse instante. A aceleração na direção x é constante, então usamos:
vx = 8 + 4 times 6 = 8 + 24 = 32 , m/s
Onde:
  • é a velocidade inicial na direção x.
  • é a aceleração na direção x.
Substituindo os valores:

Passo 4

Então, a velocidade total do carro quando atinge a maior coordenada y tem apenas a componente x, já que v = 32 i , m/s . Portanto, a velocidade é:

Passo 5

Agora vamos para a parte (b), onde precisamos determinar o vetor posição r(t) = r0 + v0 t + 12 a t^2 como função do tempo, sabendo que a posição inicial é .
Usamos a equação da posição para movimento com aceleração constante:
Onde:
  • é a posição inicial.
  • é a velocidade inicial.
  • é a aceleração.

Passo 6

Vamos calcular cada componente separadamente:
Para a componente x:
x(t) = x0 + v0x t + 12 ax t^2 = 1 + 8t + 2 t^2
Para a componente y:
y(t) = y0 + v0y t + 12 ay t^2 = 2 + 12t - t^2

Passo 7

Juntando as componentes, o vetor posição em função do tempo fica:
r(t) = (1 + 8t + 2 t^2) i + (2 + 12t - t^2) j , m

Resposta

(a) A velocidade do carro quando atinge a maior coordenada y é r(t) = (1 + 8t + 2 t^2) i + (2 + 12t - t^2) j , m .
(b) O vetor posição em função do tempo é:

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