Uma bola rola horizontalmente do alto de uma escada com velocidade de
. Os degraus tem 10 cms de altura e 25 cms de largura. Em qual degrau a bola bate primeiro?
Passo 1
Então, vamos lá! O problema que você trouxe fala sobre uma bola que rola horizontalmente do alto de uma escada com uma certa velocidade. As escadas têm degraus de 10 cm de altura e 25 cm de largura. A gente precisa descobrir em qual degrau a bola vai bater primeiro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento retilíneo uniforme e queda livre, que são parte da física do movimento. Vamos precisar calcular como a bola se move horizontalmente e como ela cai verticalmente para ver onde elas se encontram primeiro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento horizontal da bola. Ela está rolando com uma velocidade constante de
. Isso significa que sua posição horizontal em função do tempo (
) é dada por:
Onde
é a velocidade constante.
Passo 3
Agora, vamos analisar o movimento vertical. A bola está rolando horizontalmente, então sua velocidade inicial vertical é zero. Porém, devido à gravidade, ela começa a cair. A posição vertical em função do tempo (
) para uma queda livre é dada por:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 4
Cada degrau da escada tem uma altura de
e uma largura de
. Queremos descobrir em qual degrau a bola vai bater primeiro, ou seja, quando a distância horizontal que ela percorre estiver alinhada com a largura de algum degrau e a altura que ela caiu seja igual ou maior que a altura desse degrau.
Passo 5
Vamos chamar o número do degrau em que a bola bate de
. A posição horizontal até o degrau
é:
E a altura correspondente é:
Queremos encontrar o menor valor de
tal que
quando
.
Passo 6
Substituindo as equações de
e
na condição
:
Daí, isolando
:
Passo 7
Agora, substituímos esse valor de
na equação de
e queremos que
:
Simplificando a equação:
Passo 8
Vamos resolver a inequação para encontrar
:
Dividindo ambos os lados por
(considerando que
):
Passo 9
Como
deve ser um número inteiro, o menor valor que satisfaz a inequação é
. Portanto, a bola vai bater no terceiro degrau primeiro.
Resposta
A bola bate no terceiro degrau primeiro.
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em segundos. Seja
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e
.
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