Uma bola rola horizontalmente do alto de uma escada com velocidade de 2 m / s. Os degraus tem 10 cms de altura e 25 cms de largura. Em qual degrau a bola bate primeiro?

Passo 1

Então, vamos lá! O problema que você trouxe fala sobre uma bola que rola horizontalmente do alto de uma escada com uma certa velocidade. As escadas têm degraus de 10 cm de altura e 25 cm de largura. A gente precisa descobrir em qual degrau a bola vai bater primeiro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento retilíneo uniforme e queda livre, que são parte da física do movimento. Vamos precisar calcular como a bola se move horizontalmente e como ela cai verticalmente para ver onde elas se encontram primeiro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento horizontal da bola. Ela está rolando com uma velocidade constante de x(t) = v cdot t . Isso significa que sua posição horizontal em função do tempo ( ) é dada por:
Onde é a velocidade constante.

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento vertical. A bola está rolando horizontalmente, então sua velocidade inicial vertical é zero. Porém, devido à gravidade, ela começa a cair. A posição vertical em função do tempo ( y(t) = 12 g t^2 ) para uma queda livre é dada por:
Onde é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Cada degrau da escada tem uma altura de e uma largura de . Queremos descobrir em qual degrau a bola vai bater primeiro, ou seja, quando a distância horizontal que ela percorre estiver alinhada com a largura de algum degrau e a altura que ela caiu seja igual ou maior que a altura desse degrau.

Passo 5

Vamos chamar o número do degrau em que a bola bate de xn = (n - 1) cdot b . A posição horizontal até o degrau yn = (n - 1) cdot h é:
E a altura correspondente é:
Queremos encontrar o menor valor de tal que quando .

Passo 6

Substituindo as equações de 2 cdot t = (n - 1) cdot 0,25 e t = (n - 1) cdot 0,252 na condição :
Daí, isolando :

Passo 7

Agora, substituímos esse valor de 12 cdot 9,8 cdot ((n - 1) cdot 0,252)^2 >= (n - 1) cdot 0,10 na equação de 12 cdot 9,8 cdot ( (n - 1)^2 cdot 0,06254) >= 0,10 cdot (n - 1) e queremos que 9,8 cdot (n - 1)^2 cdot 0,06258 >= 0,10 cdot (n - 1) :
Simplificando a equação:

Passo 8

Vamos resolver a inequação para encontrar 9,8 cdot 0,06258 cdot (n - 1)^2 >= 0,10 cdot (n - 1) :
0,0765625 cdot (n - 1)^2 >= 0,10 cdot (n - 1)
0,0765625 cdot (n - 1) >= 0,10
Dividindo ambos os lados por n - 1 >= 0,100,0765625 (considerando que n - 1 >= 1,306 ):
n >= 2,306

Passo 9

Como deve ser um número inteiro, o menor valor que satisfaz a inequação é . Portanto, a bola vai bater no terceiro degrau primeiro.

Resposta

A bola bate no terceiro degrau primeiro.

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