Uma bola rola horizontalmente do alto de uma escada com velocidade de . Os degraus tem 10 cms de altura e 25 cms de largura. Em qual degrau a bola bate primeiro?

Passo 1

Então, vamos lá! O problema que você trouxe fala sobre uma bola que rola horizontalmente do alto de uma escada com uma certa velocidade. As escadas têm degraus de 10 cm de altura e 25 cm de largura. A gente precisa descobrir em qual degrau a bola vai bater primeiro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento retilíneo uniforme e queda livre, que são parte da física do movimento. Vamos precisar calcular como a bola se move horizontalmente e como ela cai verticalmente para ver onde elas se encontram primeiro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento horizontal da bola. Ela está rolando com uma velocidade constante de . Isso significa que sua posição horizontal em função do tempo ( ) é dada por:
Onde é a velocidade constante.

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento vertical. A bola está rolando horizontalmente, então sua velocidade inicial vertical é zero. Porém, devido à gravidade, ela começa a cair. A posição vertical em função do tempo ( ) para uma queda livre é dada por:
Onde é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Cada degrau da escada tem uma altura de e uma largura de . Queremos descobrir em qual degrau a bola vai bater primeiro, ou seja, quando a distância horizontal que ela percorre estiver alinhada com a largura de algum degrau e a altura que ela caiu seja igual ou maior que a altura desse degrau.

Passo 5

Vamos chamar o número do degrau em que a bola bate de . A posição horizontal até o degrau é:
E a altura correspondente é:
Queremos encontrar o menor valor de tal que quando .

Passo 6

Substituindo as equações de e na condição :
Daí, isolando :

Passo 7

Agora, substituímos esse valor de na equação de e queremos que :
Simplificando a equação:

Passo 8

Vamos resolver a inequação para encontrar :
Dividindo ambos os lados por (considerando que ):

Passo 9

Como deve ser um número inteiro, o menor valor que satisfaz a inequação é . Portanto, a bola vai bater no terceiro degrau primeiro.

Resposta

A bola bate no terceiro degrau primeiro.

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