A velocidade instantânea de uma partícula que se movimenta num plano vem dado por . Se em a partícula está na posição , determinar a curva que descreve a trajetória da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a velocidade da partícula em função do tempo, , e sabemos a posição inicial dela quando , que é . Nosso objetivo é descobrir a trajetória que a partícula segue nesse plano . Para isso, vamos precisar integrar a velocidade para achar a posição da partícula em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na componente da velocidade, que é . Para encontrar a posição em , vamos integrar essa função em relação a :
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração para a componente .

Passo 3

Agora, vamos fazer a mesma coisa para a componente da velocidade, que é . A posição em será:
Integrando:
Aqui, é a constante de integração para a componente .

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial para descobrir as constantes e . Sabemos que em , a posição é .
Para a componente :
Para a componente :

Passo 5

Com as constantes encontradas, podemos escrever as funções de posição completas:

Passo 6

Para achar a curva que descreve a trajetória, queremos relacionar com . Observamos que:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Substituindo na equação de :

Resposta

A trajetória da partícula é dada pela curva .

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Um carro viaja num plano com aceleração constante . (a) Se a velocidade inicial tem componentes e , determinar a velocidade do carro quando atinge a maior coordenada . (b) Se a posição inicial vem dado pelo vetor , determinar o vetor de posição como função do tempo.
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