A velocidade instantânea de uma partícula que se movimenta num plano
vem dado por
. Se em
a partícula está na posição
, determinar a curva que descreve a trajetória da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a velocidade da partícula em função do tempo,
, e sabemos a posição inicial dela quando
, que é
. Nosso objetivo é descobrir a trajetória que a partícula segue nesse plano
. Para isso, vamos precisar integrar a velocidade para achar a posição da partícula em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na componente
da velocidade, que é
. Para encontrar a posição em
, vamos integrar essa função em relação a
:
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração para a componente
.
Passo 3
Agora, vamos fazer a mesma coisa para a componente
da velocidade, que é
. A posição em
será:
Integrando:
Aqui,
é a constante de integração para a componente
.
Passo 4
Agora, vamos usar a condição inicial para descobrir as constantes
e
. Sabemos que em
, a posição é
.
Para a componente
:
Para a componente
:
Passo 5
Com as constantes encontradas, podemos escrever as funções de posição completas:
Passo 6
Para achar a curva que descreve a trajetória, queremos relacionar
com
. Observamos que:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Substituindo
na equação de
:
Resposta
A trajetória da partícula é dada pela curva
.
Exercícios relacionados
Um carro viaja num plano
com aceleração constante
. (a) Se a velocidade inicial tem componentes
e
, determinar a velocidade do carro quando atinge a maior coordenada
. (b) Se a posição inicial vem dado pelo vetor
, determinar o vetor de posição como função do tempo.
O vetor de posição de uma partícula, como função do tempo, vem dado por
, onde
está em segundos e
em metros. (a) Determinar a velocidade instantânea, (b) a aceleração instantânea. © Existe algum valor de
tal que a velocidade é nula? Caso afimarmativo determine esse instante. (d) Determine a distância entre a posição em
e a posição em
. (e) Determine o instante no qual a velocidade é máxima e (f) determine o instante no qual a velocidade é mínima. Sugestão: em (e) e (f) note que a questão só faz sentido quando considerarmos a velocidade escalar.
Uma bola é lançada a partir do solo. Quando ela atinge uma altura de 9 m a sua velocidade é
. (a) Determinar a altura máxima alcançada pela bola, (b) o alcance horizontal máximo e © a velocidade, em módulo e direção, quando a bola atinge o solo.
O vetor
mostra a posição de uma partícula, onde
está em metros e
em segundos. Seja
o ângulo entre a direção do movimento da partícula e o semi-eixo
positivo, a Fig. 1 mostra a dependência desse ângulo com o tempo. Determinar os valores de
e
.