A velocidade instantânea de uma partícula que se movimenta num plano
vem dado por
. Se em
a partícula está na posição
, determinar a curva que descreve a trajetória da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a velocidade da partícula em função do tempo,
, e sabemos a posição inicial dela quando
, que é
. Nosso objetivo é descobrir a trajetória que a partícula segue nesse plano
. Para isso, vamos precisar integrar a velocidade para achar a posição da partícula em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na componente
da velocidade, que é
. Para encontrar a posição em
, vamos integrar essa função em relação a
:
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração para a componente
.
Passo 3
Agora, vamos fazer a mesma coisa para a componente
da velocidade, que é
. A posição em
será:
Integrando:
Aqui,
é a constante de integração para a componente
.
Passo 4
Agora, vamos usar a condição inicial para descobrir as constantes
e
. Sabemos que em
, a posição é
.
Para a componente
:
Para a componente
:
Passo 5
Com as constantes encontradas, podemos escrever as funções de posição completas:
Passo 6
Para achar a curva que descreve a trajetória, queremos relacionar
com
. Observamos que:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Substituindo
na equação de
:
Resposta
A trajetória da partícula é dada pela curva
.