A velocidade instantânea de uma partícula que se movimenta num plano x y vem dado por v(t)=(4 t^3+4 t) i+4 t j. Se em t=0 a partícula está na posição r0=(i+2 j) m, determinar a curva que descreve a trajetória da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a velocidade da partícula em função do tempo, v(t) = (4 t^3 + 4 t) i + 4 t j, e sabemos a posição inicial dela quando t=0, que é r0 = (i + 2 j) , m. Nosso objetivo é descobrir a trajetória que a partícula segue nesse plano xy. Para isso, vamos precisar integrar a velocidade para achar a posição da partícula em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na componente x da velocidade, que é vx(t) = 4 t^3 + 4 t. Para encontrar a posição em x, vamos integrar essa função em relação a t:
rx(t) = integral vx(t) , dt = integral (4 t^3 + 4 t) , dt
Integrando termo a termo:
rx(t) = 4 cdot t^44 + 4 cdot t^22 + Cx = t^4 + 2 t^2 + Cx
Onde Cx é a constante de integração para a componente x.

Passo 3

Agora, vamos fazer a mesma coisa para a componente y da velocidade, que é vy(t) = 4 t. A posição em y será:
ry(t) = integral vy(t) , dt = integral 4 t , dt
Integrando:
ry(t) = 4 cdot t^22 + Cy = 2 t^2 + Cy
Aqui, Cy é a constante de integração para a componente y.

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial para descobrir as constantes Cx e Cy. Sabemos que em t=0, a posição é r0 = (i + 2 j).
Para a componente x:
rx(0) = 0^4 + 2 cdot 0^2 + Cx = Cx = 1 , m
Para a componente y:
ry(0) = 2 cdot 0^2 + Cy = Cy = 2 , m

Passo 5

Com as constantes encontradas, podemos escrever as funções de posição completas:
rx(t) = t^4 + 2 t^2 + 1
ry(t) = 2 t^2 + 2

Passo 6

Para achar a curva que descreve a trajetória, queremos relacionar y com x. Observamos que:
x = t^4 + 2 t^2 + 1 = (t^2 + 1)^2
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
raizx = t^2 + 1 implies t^2 = raizx - 1
Substituindo t^2 na equação de y:
y = 2 t^2 + 2 = 2(raizx - 1) + 2 = 2 raizx

Resposta

A trajetória da partícula é dada pela curva y = 2 raizx.

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