Uma bola é lançada do solo diretamente de baixo para cima com velocidade . No mesmo instante, outra bola é largada do repouso a uma altura , diretamente acima do ponto onde a primeira bola foi lançada para cima. Despreze a resistência do ar. a) Calcule o instante em que as duas bolas colidem. b) Ache o valor de em termos de e , de modo que no momento da colisão a primeira bola atinja sua altura máxima.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos duas bolas: a primeira é lançada para cima do solo com uma velocidade inicial , e a segunda é largada do repouso de uma altura , diretamente acima do ponto de lançamento da primeira bola. Queremos descobrir:
a) O instante em que as duas bolas se encontram.
b) O valor de em termos de e de modo que, no momento da colisão, a primeira bola esteja atingindo sua altura máxima.
Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de cinemática, que nos ajuda a descrever o movimento das bolas. Precisaremos das equações do movimento uniformemente variado, que consideram a aceleração devido à gravidade .

Passo 2

Vamos analisar a trajetória da primeira bola, que é lançada para cima. A posição da bola em função do tempo pode ser descrita pela equação:
Aqui, é a altura da primeira bola em relação ao solo no tempo , representa o movimento inicial para cima, e é a redução da altura devido à aceleração da gravidade.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda bola, que é largada do repouso de uma altura . Sua posição em função do tempo é dada por:
Aqui, é a altura da segunda bola em relação ao solo no tempo . Como a bola é largada do repouso, não há termo de velocidade inicial.

Passo 4

Para encontrar o instante em que as duas bolas se encontram, basta igualar as duas equações de posição:
Percebemos que o termo se cancela dos dois lados da equação, simplificando para:

Passo 5

Agora, resolvemos para o tempo :
Portanto, o instante em que as duas bolas colidem é .

Passo 6

Para a parte b), queremos que no momento da colisão, a primeira bola atinja sua altura máxima. Sabemos que a altura máxima é atingida quando a velocidade da bola é zero. O tempo para atingir a altura máxima é:
á

Passo 7

Igualando o tempo de colisão ao tempo para atingir a altura máxima:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

a) As duas bolas se colidem no instante .
b) O valor de é .

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