[PC] Um drone voa horizontalmente com velocidade constante de
a uma altura constante de 8 m . Você começa a avista-lo quando ele está a 100 m distante horizontalmente de você. Ele vem em sua direção e passa sobre sua cabeça. Faça gráficos da velocidade radial e da velocidade angular desse drone em função da posição horizontal em relação à você. Discuta os resultados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um drone que está voando horizontalmente a uma velocidade constante de
e mantém uma altura fixa de 8 metros. Você começa a avistar o drone quando ele está a 100 metros de distância horizontalmente de você. Conforme o drone se aproxima, ele passa bem sobre a sua cabeça. Nosso objetivo aqui é fazer gráficos da velocidade radial e da velocidade angular desse drone em função da posição horizontal em relação a você. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de movimento relativo e trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade radial e velocidade angular.
-
Velocidade Radial (
): É a taxa de variação da distância entre o drone e você. Ou seja, como a distância entre vocês está aumentando ou diminuindo ao longo do tempo. -
Velocidade Angular (
): É a taxa de variação do ângulo de visão que você tem do drone. Basicamente, como esse ângulo está mudando conforme o drone se move.
Passo 3
Vamos definir algumas variáveis para facilitar:
-
: posição horizontal do drone em relação a você. Quando o drone está a 100 metros, . Quando passa sobre sua cabeça, . -
: altura constante do drone. -
: velocidade horizontal constante do drone.
Passo 4
Vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
- A base é a distância horizontal
. - A altura é a altura constante
. - A hipotenusa é a distância total
entre você e o drone.
Usando o Teorema de Pitágoras:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a velocidade radial
, que é a derivada de
em relação ao tempo
:
Primeiro, vamos derivar
em relação a
:
Como
está mudando com o tempo a uma taxa de
(porque o drone está se aproximando), temos:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a velocidade angular
, que é a derivada do ângulo
em relação ao tempo
:
Primeiro, vamos expressar
em termos de
:
Derivando
em relação a
:
Multiplicando pela taxa de mudança de
em relação ao tempo
:
Passo 7
Agora que temos as expressões para
e
em função de
, podemos resumir:
Passo 8
Vamos discutir como essas funções se comportam:
-
Velocidade Radial (
): - Quando
, é negativo, indicando que a distância está diminuindo. - Conforme
diminui, o valor absoluto de aumenta até , onde atinge seu valor máximo negativo ( ).
- Quando
-
Velocidade Angular (
): - Quando
é grande, é pequena, pois o ângulo muda lentamente. - À medida que o drone se aproxima (
diminui), aumenta, atingindo seu pico quando o drone passa sobre sua cabeça ( ).
- Quando
Resposta
Portanto, os gráficos mostrariam que a velocidade radial aumenta em magnitude conforme o drone se aproxima, alcançando
quando está diretamente acima de você. Já a velocidade angular começa pequena, aumenta à medida que o drone chega mais perto e atinge seu valor máximo quando o drone está sobre você. Isso reflete como a proximidade do drone afeta tanto a taxa de mudança da distância quanto a taxa de mudança do ângulo de visão.
Exercícios relacionados
Uma caixa apóia-se sobre uma tábua que, por sua vez, apóia-se sobre uma mesa horizontal. Os coeficientes de atrito estático e cinético entre 5. a caixa e a tábua valem 0,50 e 0,30 , respectivamente, e o atrito entre a tábua e a mesa é desprezível. A caixa tem massa
e atábua tem massa
. Uma força horizontal
de módulo igual a 200 N é aplicada sobre a tábua. Calcule as acelerações da tábua e da caixa.
Dados dois vetores
e
, determine: a) o módulo de cada vetor; b) uma expressão para a diferença vetorial
, usando vetores unitários; c) o módulo da diferença vetorial
. Este valor é igual ao módulo da diferença vetorial
? Explique.
Uma bola é lançada do solo diretamente de baixo para cima com velocidade
. No mesmo instante, outra bola é largada do repouso a uma altura
, diretamente acima do ponto onde a primeira bola foi lançada para cima. Despreze a resistência do ar. a) Calcule o instante em que as duas bolas colidem. b) Ache o valor de
em termos de
e
, de modo que no momento da colisão a primeira bola atinja sua altura máxima.
Quando os patinadores chegam à
um do outro eles estendem o braço e se dão as mãos, passando a girar em torno do CM comum. Calcule a velocidade de rotação.