[PC] Um drone voa horizontalmente com velocidade constante de 6 m / s a uma altura constante de 8 m . Você começa a avista-lo quando ele está a 100 m distante horizontalmente de você. Ele vem em sua direção e passa sobre sua cabeça. Faça gráficos da velocidade radial e da velocidade angular desse drone em função da posição horizontal em relação à você. Discuta os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um drone que está voando horizontalmente a uma velocidade constante de e mantém uma altura fixa de 8 metros. Você começa a avistar o drone quando ele está a 100 metros de distância horizontalmente de você. Conforme o drone se aproxima, ele passa bem sobre a sua cabeça. Nosso objetivo aqui é fazer gráficos da velocidade radial e da velocidade angular desse drone em função da posição horizontal em relação a você. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de movimento relativo e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade radial e velocidade angular.
  • Velocidade Radial ( ): É a taxa de variação da distância entre o drone e você. Ou seja, como a distância entre vocês está aumentando ou diminuindo ao longo do tempo.
  • Velocidade Angular ( ): É a taxa de variação do ângulo de visão que você tem do drone. Basicamente, como esse ângulo está mudando conforme o drone se move.

Passo 3

Vamos definir algumas variáveis para facilitar:
  • : posição horizontal do drone em relação a você. Quando o drone está a 100 metros, . Quando passa sobre sua cabeça, .
  • : altura constante do drone.
  • : velocidade horizontal constante do drone.

Passo 4

Vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • A base é a distância horizontal r = raizx^2 + h^2 .
  • A altura é a altura constante .
  • A hipotenusa é a distância total entre você e o drone.
Usando o Teorema de Pitágoras:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a velocidade radial vr = drdt , que é a derivada de drdx = xraizx^2 + h^2 em relação ao tempo vr = drdx cdot dxdt = xraizx^2 + h^2 cdot (-v) = -v xraizx^2 + h^2 :
Primeiro, vamos derivar em relação a :
Como está mudando com o tempo a uma taxa de (porque o drone está se aproximando), temos:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a velocidade angular omega = dthetadt , que é a derivada do ângulo tan(theta) = hx implies theta = arctan(hx) em relação ao tempo dthetadx = -hx^2 + h^2 :
omega = dthetadt = dthetadx cdot dxdt = -hx^2 + h^2 cdot (-v) = v hx^2 + h^2
Primeiro, vamos expressar em termos de :
Derivando em relação a :
Multiplicando pela taxa de mudança de em relação ao tempo :

Passo 7

Agora que temos as expressões para vr(x) = -v xraizx^2 + h^2 e omega(x) = v hx^2 + h^2 em função de , podemos resumir:

Passo 8

Vamos discutir como essas funções se comportam:
  • Velocidade Radial ( ):
    • Quando , é negativo, indicando que a distância está diminuindo.
    • Conforme diminui, o valor absoluto de aumenta até , onde atinge seu valor máximo negativo ( ).
  • Velocidade Angular ( ):
    • Quando é grande, é pequena, pois o ângulo muda lentamente.
    • À medida que o drone se aproxima ( diminui), aumenta, atingindo seu pico quando o drone passa sobre sua cabeça ( ).

Resposta

Portanto, os gráficos mostrariam que a velocidade radial aumenta em magnitude conforme o drone se aproxima, alcançando quando está diretamente acima de você. Já a velocidade angular começa pequena, aumenta à medida que o drone chega mais perto e atinge seu valor máximo quando o drone está sobre você. Isso reflete como a proximidade do drone afeta tanto a taxa de mudança da distância quanto a taxa de mudança do ângulo de visão.

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