Calcule o momento de inércia dos seguintes objetos (assuma que esses objetos têm densidade constante
):
Um cilindro de raio
e altura
, girando em torno do seu eixo de simetria.
Um cilindro de raio
Passo 1
Beleza, então a gente tem um cilindro com raio
e altura
, e ele está girando em torno do seu eixo de simetria. O que vamos calcular aqui é o momento de inércia desse cilindro. O momento de inércia é basicamente uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação, e isso vai nos ajudar a entender como o cilindro vai se comportar quando girar. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo e a fórmula específica para moment de inércia de um cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia (
) para um objeto girando em torno de um eixo é dado por:
Aqui,
é a distância de um elemento de massa
até o eixo de rotação. No caso do cilindro, todo ponto está a uma distância
do eixo, já que estamos girando precisamente em torno do eixo de simetria.
Passo 3
Como a densidade
é constante, podemos expressar a massa total
do cilindro como:
E o volume
de um cilindro é:
Então,
Passo 4
Agora, substituindo
na fórmula do momento de inércia que conhecemos para um cilindro girando em torno do seu eixo central:
Isso significa que o momento de inércia depende do raio ao quadrado e da massa do cilindro.
Passo 5
Substituindo a expressão para
que encontramos:
Multiplicando os termos:
Resposta
O momento de inércia do cilindro é: