Calcule o momento de inércia dos seguintes objetos (assuma que esses objetos têm densidade constante rho ):
Um cilindro de raio R e altura h, girando em torno do seu eixo de simetria.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um cilindro com raio e altura , e ele está girando em torno do seu eixo de simetria. O que vamos calcular aqui é o momento de inércia desse cilindro. O momento de inércia é basicamente uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação, e isso vai nos ajudar a entender como o cilindro vai se comportar quando girar. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo e a fórmula específica para moment de inércia de um cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia ( I = integral r^2 , dm ) para um objeto girando em torno de um eixo é dado por:
Aqui, é a distância de um elemento de massa até o eixo de rotação. No caso do cilindro, todo ponto está a uma distância do eixo, já que estamos girando precisamente em torno do eixo de simetria.

Passo 3

Como a densidade M = rho times Volume é constante, podemos expressar a massa total V = pi R^2 h do cilindro como:
M = rho pi R^2 h
E o volume de um cilindro é:
Então,

Passo 4

Agora, substituindo I = 12 M R^2 na fórmula do momento de inércia que conhecemos para um cilindro girando em torno do seu eixo central:
Isso significa que o momento de inércia depende do raio ao quadrado e da massa do cilindro.

Passo 5

Substituindo a expressão para I = 12 (rho pi R^2 h) R^2 que encontramos:
I = 12 rho pi R^4 h
Multiplicando os termos:

Resposta

O momento de inércia do cilindro é:
I = 12 rho pi R^4 h

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