Para um projétil lançado da origem de um sistema de referência com velocidade v0, fazendo um ângulo theta0 acima da horizontal, determine: (a) O tempo necessário para atingir novamente o solo, que se encontra na mesma coordenada vertical da origem. (b) O tempo necessário para atingir a altura máxima e o vetor posição neste instante. © O alcance do projétil. (d) A equação da posição vertical em função da posição horizontal, y=f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre movimento de projétil! Basicamente, um projétil é qualquer objeto lançado no ar, seguindo uma trajetória influenciada pela gravidade. Aqui, vamos precisar das equações do movimento uniformemente acelerado, considerando que a única força atuando após o lançamento é a gravidade. Vamos usar as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial, as fórmulas de cinemática e um pouco de trigonometria para encontrar as respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial v0 em suas componentes horizontal e vertical. Se o ângulo de lançamento é theta0, então:
v0x = v0 cos(theta0)
v0y = v0 sin(theta0)
Essas componentes nos ajudam a analisar o movimento nas direções x (horizontal) e y (vertical) separadamente.

Passo 3

Para a parte (a), queremos saber o tempo que o projétil leva para voltar ao solo. A posição vertical quando ele atinge o solo novamente é zero. Usamos a equação de movimento vertical:
y(t) = v0y t - 12 g t^2
Queremos y(t) = 0, então:
0 = v0 sin(theta0) t - 12 g t^2
Fatorando t:
t (v0 sin(theta0) - 12 g t ) = 0
A solução t = 0 é o instante do lançamento. A outra solução é:
t = 2 v0 sin(theta0)g

Passo 4

Para a parte (b), vamos encontrar o tempo para atingir a altura máxima. Na altura máxima, a velocidade vertical é zero. Usamos a equação da velocidade vertical:
vy(t) = v0y - g t
Igualando a zero:
0 = v0 sin(theta0) - g t
Resolvendo para t:
t = v0 sin(theta0)g
Agora, para encontrar o vetor posição nesse instante, usamos as equações de posição:
x(t) = v0x t = v0 cos(theta0) cdot v0 sin(theta0)g = v0^2 sin(theta0) cos(theta0)g
y(t) = v0 sin(theta0) cdot v0 sin(theta0)g - 12 g (v0 sin(theta0)g)^2 = v0^2 sin^2(theta0)2g
Então, o vetor posição é:
r = (v0^2 sin(theta0) cos(theta0)g, v0^2 sin^2(theta0)2g)

Passo 5

Para a parte ©, queremos encontrar o alcance do projétil, ou seja, a distância horizontal total que ele percorre. Já sabemos que o tempo total de voo é 2 v0 sin(theta0)g. Usamos a equação de posição horizontal:
x = v0x t = v0 cos(theta0) cdot 2 v0 sin(theta0)g = 2 v0^2 sin(theta0) cos(theta0)g
Usando a identidade trigonométrica 2 sin(theta) cos(theta) = sin(2theta), podemos simplificar:
x = v0^2 sin(2theta0)g

Passo 6

Para a parte (d), queremos a equação da posição vertical em função da posição horizontal, y = f(x). Sabemos que:
x = v0 cos(theta0) t Rightarrow t = xv0 cos(theta0)
Substituindo t na equação de y(t):
y = v0 sin(theta0) cdot xv0 cos(theta0) - 12 g (xv0 cos(theta0))^2
Simplificando:
y = x tan(theta0) - g x^22 v0^2 cos^2(theta0)
Então, a equação é:
y = x tan(theta0) - g x^22 v0^2 cos^2(theta0)

Resposta

(a) O tempo para o projétil atingir novamente o solo é t = 2 v0 sin(theta0)g.
(b) O tempo para atingir a altura máxima é t = v0 sin(theta0)g e o vetor posição nesse instante é r = (v0^2 sin(theta0) cos(theta0)g, v0^2 sin^2(theta0)2g).
© O alcance do projétil é x = v0^2 sin(2theta0)g.
(d) A equação da posição vertical em função da horizontal é y = x tan(theta0) - g x^22 v0^2 cos^2(theta0).

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