Para um projétil lançado da origem de um sistema de referência com velocidade
, fazendo um ângulo
acima da horizontal, determine: (a) O tempo necessário para atingir novamente o solo, que se encontra na mesma coordenada vertical da origem. (b) O tempo necessário para atingir a altura máxima e o vetor posição neste instante. © O alcance do projétil. (d) A equação da posição vertical em função da posição horizontal,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre movimento de projétil! Basicamente, um projétil é qualquer objeto lançado no ar, seguindo uma trajetória influenciada pela gravidade. Aqui, vamos precisar das equações do movimento uniformemente acelerado, considerando que a única força atuando após o lançamento é a gravidade. Vamos usar as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial, as fórmulas de cinemática e um pouco de trigonometria para encontrar as respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial
em suas componentes horizontal e vertical. Se o ângulo de lançamento é
, então:
Essas componentes nos ajudam a analisar o movimento nas direções x (horizontal) e y (vertical) separadamente.
Passo 3
Para a parte (a), queremos saber o tempo que o projétil leva para voltar ao solo. A posição vertical quando ele atinge o solo novamente é zero. Usamos a equação de movimento vertical:
Queremos
, então:
Fatorando
:
A solução
é o instante do lançamento. A outra solução é:
Passo 4
Para a parte (b), vamos encontrar o tempo para atingir a altura máxima. Na altura máxima, a velocidade vertical é zero. Usamos a equação da velocidade vertical:
Igualando a zero:
Resolvendo para
:
Agora, para encontrar o vetor posição nesse instante, usamos as equações de posição:
Então, o vetor posição é:
Passo 5
Para a parte ©, queremos encontrar o alcance do projétil, ou seja, a distância horizontal total que ele percorre. Já sabemos que o tempo total de voo é
. Usamos a equação de posição horizontal:
Usando a identidade trigonométrica
, podemos simplificar:
Passo 6
Para a parte (d), queremos a equação da posição vertical em função da posição horizontal,
. Sabemos que:
Substituindo
na equação de
:
Simplificando:
Então, a equação é:
Resposta
(a) O tempo para o projétil atingir novamente o solo é
.
(b) O tempo para atingir a altura máxima é
e o vetor posição nesse instante é
.
© O alcance do projétil é
.
(d) A equação da posição vertical em função da horizontal é
.