integralC(y+z) d x+(x+z) d y+(x+y) d z, C consiste nos segmentos de reta de (0,0,0) (1,0,1) e de (1,0,1) a (0,1,2).

Passo 1

Resumo do Exercício:
Estamos resolvendo uma integral de linha no espaço tridimensional. A integral é dada por:
integralC (y + z) , dx + (x + z) , dy + (x + y) , dz
A curva é composta por dois segmentos de reta:
  1. De a
  2. De a
Matéria Envolvida: Cálculo de integrais de linha em 3D.
O que vamos precisar:
  • Parametrizar cada segmento de reta.
  • Substituir as parametrizações na integral.
  • Calcular as integrais em cada segmento e somar os resultados.

Passo 2

Parametrizando o Primeiro Segmento: de x = t y = 0 z = t a dx = dt, dy = 0, dz = dt .
Vamos usar um parâmetro (y + z) , dx + (x + z) , dy + (x + y) , dz = (0 + t) , dt + (t + t) cdot 0 + (t + 0) , dt = t , dt + t , dt = 2t , dt que varia de 0 a 1.
integral0^1 2t , dt = 2 [ t^22 ]0^1 = 2 ( 12 - 0 ) = 1
Calculando as Diferenciais:
Substituindo na Integral:
Calculando a Integral:

Passo 3

Parametrizando o Segundo Segmento: de x = 1 - s y = s z = 1 + s a dx = -ds, dy = ds, dz = ds .
Vamos usar um parâmetro (y + z) , dx + (x + z) , dy + (x + y) , dz = (s + 1 + s)(-ds) + (1 - s + 1 + s) , ds + (1 - s + s) , ds que varia de 0 a 1.
= (1 + 2s)(-ds) + 2 , ds + 1 , ds = -1 , ds - 2s , ds + 2 , ds + 1 , ds = ( -1 + 2 + 1 ) , ds + (-2s) , ds = 2 - 2s , ds
Calculando as Diferenciais:
integral0^1 (2 - 2s) , ds = [ 2s - s^2 ]0^1 = (2 cdot 1 - 1^2) - (0 - 0) = 2 - 1 = 1
Substituindo na Integral:
Calculando a Integral:

Resposta

A integral total ao longo da curva é 2.

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