Um disco de massa 100 kg e raio 3,0 m na horizontal gira livremente sem atrito completando uma volta a cada 3,0 s. No centro do disco está uma pessoa de 50,0 kg. A pessoa, com alguma dificuldade, caminha até a borda do disco, onde para. Nesse momento, quanto tempo o disco demorará para completar uma volta?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco que pesa 100 kg e tem um raio de 3,0 metros, girando sem atrito. Esse disco completa uma volta a cada 3,0 segundos. No centro do disco, tem uma pessoa que pesa 50,0 kg. A pessoa decide caminhar até a borda do disco e para lá. Queremos saber quanto tempo o disco vai demorar para completar uma volta depois que a pessoa parar na borda.
Matéria envolvida: Conservação do momento angular.
O que vamos precisar:
  • Fórmulas de momento de inércia para o disco e para a pessoa.
  • Conceito de conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia inicial do sistema. Como a pessoa está no centro, ela não contribui para o momento de inércia. O momento de inércia de um disco sólido em relação ao seu eixo é dado por:
I1 = 12 M R^2
Onde:
  • I1 = 12 times 100 times (3,0)^2 = 12 times 100 times 9 = 450 , kg cdot m^2 (massa do disco)
  • (raio do disco)
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos considerar o momento de in��rcia após a pessoa se mover até a borda do disco. A pessoa está a uma distância Ipessoa = m r^2 do eixo, então o momento de inércia dela é:
Ipessoa = 50,0 times (3,0)^2 = 50,0 times 9 = 450 , kg cdot m^2
Onde:
Substituindo os valores:

Passo 4

O momento de inércia total após a pessoa se mover para a borda é a soma do momento de inércia do disco e da pessoa:
I2 = I1 + Ipessoa = 450 + 450 = 900 , kg cdot m^2

Passo 5

Como não há atrito, o momento angular do sistema é conservado. O momento angular ( L = I omega ) é dado por:
I1 omega1 = I2 omega2
Onde 12 M R^2 omega1 = (I1 + Ipessoa) omega2 é a velocidade angular. Portanto, temos:

Passo 6

Sabemos que a velocidade angular está relacionada ao período ( omega = 2piT ) pela fórmula:
I1 times 2piT1 = I2 times 2piT2
Substituindo na equação da conservação do momento angular:
I1 times 1T1 = I2 times 1T2
Podemos simplificar dos dois lados:

Passo 7

Vamos isolar T2 = T1 times I2I1 para encontrar o novo período:
T2 = 3,0 , s times 900450 = 3,0 times 2 = 6,0 , s
Substituindo os valores que já calculamos:

Resposta

Após a pessoa caminhar até a borda e parar, o disco demorará 6,0 segundos para completar uma volta.

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