Um disco de massa 100 kg e raio
na horizontal gira livremente sem atrito completando uma volta a cada
. No centro do disco está uma pessoa de
. A pessoa, com alguma dificuldade, caminha até a borda do disco, onde para. Nesse momento, quanto tempo o disco demorará para completar uma volta?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco que pesa 100 kg e tem um raio de 3,0 metros, girando sem atrito. Esse disco completa uma volta a cada 3,0 segundos. No centro do disco, tem uma pessoa que pesa 50,0 kg. A pessoa decide caminhar até a borda do disco e para lá. Queremos saber quanto tempo o disco vai demorar para completar uma volta depois que a pessoa parar na borda.
Matéria envolvida: Conservação do momento angular.
O que vamos precisar:
- Fórmulas de momento de inércia para o disco e para a pessoa.
- Conceito de conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia inicial do sistema. Como a pessoa está no centro, ela não contribui para o momento de inércia. O momento de inércia de um disco sólido em relação ao seu eixo é dado por:
Onde:
-
(massa do disco) -
(raio do disco)
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos considerar o momento de in��rcia após a pessoa se mover até a borda do disco. A pessoa está a uma distância
do eixo, então o momento de inércia dela é:
Onde:
Substituindo os valores:
Passo 4
O momento de inércia total após a pessoa se mover para a borda é a soma do momento de inércia do disco e da pessoa:
Passo 5
Como não há atrito, o momento angular do sistema é conservado. O momento angular (
) é dado por:
Onde
é a velocidade angular. Portanto, temos:
Passo 6
Sabemos que a velocidade angular está relacionada ao período (
) pela fórmula:
Substituindo na equação da conservação do momento angular:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Passo 7
Vamos isolar
para encontrar o novo período:
Substituindo os valores que já calculamos:
Resposta
Após a pessoa caminhar até a borda e parar, o disco demorará 6,0 segundos para completar uma volta.