Uma bola de massa igual a
é lançada verticalmente para cima, no ar, com uma velocidade inicial de
. Ela atinge uma altura máxima de
, caindo de volta em seguida. Suponha que as forças que atuam sobre a bola sejam apenas o seu peso e a resistência do ar durante o seu movimento. Calcule: a) o trabalho realizado pela resistência do ar durante a sua ascensão; b) o valor médio da força de atrito que o ar exerce sobre a bola; c) a velocidade com que a bola retorna ao solo.
: a)
; b)
; c)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bola de 0,63 kg que é lançada para cima com uma velocidade inicial de 14 m/s e alcança uma altura máxima de 8,1 metros antes de cair de volta. Só temos duas forças agindo na bola: o peso (gravidade) e a resistência do ar. Vamos usar conceitos de trabalho e energia para calcular:
a) O trabalho realizado pela resistência do ar durante a subida;
b) O valor médio da força de atrito do ar sobre a bola;
c) A velocidade com que a bola retorna ao solo.
b) O valor médio da força de atrito do ar sobre a bola;
c) A velocidade com que a bola retorna ao solo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho na física. Trabalho (
) é a energia transferida por uma força que atua sobre um objeto enquanto ele se move. A fórmula básica é:
Onde:
-
é a força aplicada, -
é a distância movimentada, -
é o ângulo entre a força e a direção do movimento.
Como a resistência do ar atua na direção oposta ao movimento da bola, o ângulo
será 180 graus, e .
Passo 3
Vamos calcular o trabalho realizado pela resistência do ar durante a subida (item a). Para isso, precisamos saber a energia gasta contra o ar.
A energia que a bola possui inicialmente é a sua energia cinética (
):
Onde:
-
, -
.
Calculando
:
A energia potencial gravitacional (
) no ponto mais alto é:
Onde:
-
, -
.
Calculando
:
A diferença entre a energia inicial e a potencial é o trabalho feito pela resistência do ar:
Arredondando, temos
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a força média de atrito do ar (item b). Sabemos que trabalho também pode ser expresso como:
Rearranjando para encontrar
:
Já que o trabalho da resistência do ar é
(negativo porque atua contra o movimento) e a distância é a altura máxima
, com
:
Então, a força média de atrito do ar é aproximadamente
.
Passo 5
Finalmente, vamos calcular a velocidade com que a bola retorna ao solo (item c). Sem resistência do ar, a velocidade de retorno seria igual à velocidade inicial, mas como há resistência, a energia perdida reduz a velocidade.
Podemos usar a conservação de energia considerando o trabalho feito pela resistência do ar durante toda a trajetória (subida e descida). O trabalho total é o dobro do trabalho na subida:
A energia inicial da bola é novamente
. A energia final ao retornar é:
Essa energia final é a energia cinética na descida:
Resolvendo para
:
Como a direção é para baixo, consideramos o sinal negativo:
.
Resposta
a)
;
b)
;
c)
.