Uma brincadeira muito comum consiste em uma bola de gude de massa igual a 100 g que está presa a uma corda, de comprimento L=95 cm. A bola é liberada quando a corda está na posição horizontal (1). No ponto mais baixo de sua trajetória (2), a bola atinge um bloco de aço de 1 k g inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito. Considere a colisão elástica. Determine até que altura subirá a bola de gude logo após a colisão. (g=10 m / s^2).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. Temos uma bola de gude de massa 100 g (ou 0,1 kg) presa a uma corda de 95 cm (0,95 m). Essa bola é solta da posição horizontal e, quando chega no ponto mais baixo da trajetória, ela bate num bloco de aço de 1 kg que está parado sobre uma superfície sem atrito. A colisão é elástica, o que significa que tanto a energia cinética quanto o momento são conservados. Nosso objetivo é descobrir até que altura a bola de gude vai subir logo após a colisão. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial e cinética, além das leis da conservação do momento e da energia em colisões elásticas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade da bola de gude no ponto mais baixo antes da colisão. Quando a bola é solta da posição horizontal, ela tem apenas energia potencial gravitacional, que se transforma em energia cinética no ponto mais baixo. A energia potencial inicial é dada por:
Ep = mgh
onde:
  • Ek = 12mv² (massa da bola)
  • mgh = 12mv² implies gh = 12v² implies v = raiz2gh ² (aceleração da gravidade)
  • v = raiz2 times 10 times 0,95 = raiz19 approx 4,36 , m/s (altura, que é o comprimento da corda)
A energia cinética no ponto mais baixo será:
²
Como , temos:
²²
Vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos analisar a colisão entre a bola de gude e o bloco de aço. Como a colisão é elástica e temos dois corpos, podemos usar as fórmulas de conservação do momento e da energia cinética para colisões elásticas.
As fórmulas para as velocidades finais ( v1' = m1 - m2m1 + m2 v1 e v2' = 2m1m1 + m2 v1 ) após a colisão são:
v1' = 0,1 - 10,1 + 1 times 4,36 = -0,91,1 times 4,36 approx -3,56 , m/s
v2' = 2 times 0,10,1 + 1 times 4,36 = 0,21,1 times 4,36 approx 0,792 , m/s
onde:
  • (massa da bola)
  • (massa do bloco)
  • (velocidade da bola antes da colisão)
  • (velocidade do bloco antes da colisão)
Vamos calcular e :
O sinal negativo em indica que a bola de gude está agora se movendo na direção oposta após a colisão.

Passo 4

Agora que encontramos a velocidade da bola de gude logo após a colisão ( Ek' = 12 m v1'^2 ), vamos determinar até que altura ela irá subir. Quando a bola sobe, a energia cinética se transforma em energia potencial gravitacional novamente.
A energia cinética após a colisão é:
Ep' = mgh'
A energia potencial na altura máxima será:
12 m v1'^2 = mgh' implies h' = v1'^22g
Igualando h' = (3,56)^22 times 10 = 12,6720 approx 0,6335 , m e :
Vamos calcular :

Resposta

A bola de gude sobe até aproximadamente 0,63 metros logo após a colisão.

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