Uma motocicleta e um carro partem do repouso no instante t=0 em uma mesma posição inicial que podemos fazer x0=0. Ambos disputam uma corrida onde a motocicleta possui aceleração, am igual a 8,40 m / s^2 e o carro possui (aceleração ac igual a ( 5,60 m / s^2 ) A velocidade máxima que a moto pode alcançar é de 58,8 m / s senquanto a velocidade máxima que o (carro pode alcançar é ce 106 m / s.) Perceba que a motocicleta sai na frente mas por conta das limitações técnicas logo deverá ser ultrapassada pelo carro pois a velocidade máxima dela é menor. Quanto tempo o carro levará para alcançar a motocicleta?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma motocicleta e um carro que começam do repouso no mesmo ponto ao mesmo tempo ( t=0). A motocicleta acelera a 8,40 m/s^2 até atingir uma velocidade máxima de 58,8 m/s. Já o carro acelera a 5,60 m/s^2 e pode chegar a uma velocidade máxima de 106 m/s. Queremos descobrir em quanto tempo o carro vai alcançar a motocicleta. Para isso, vamos usar as equações do movimento retilíneo uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o tempo que cada veículo leva para atingir sua velocidade máxima. Usamos a fórmula da velocidade final:
v = a times t
Resolvendo para o tempo ( t):
t = va
Para a motocicleta:
tm = 58,8 m/s8,40 m/s^2 = 7 s
Para o carro:
tc = 106 m/s5,60 m/s^2 approx 18,93 s
Isso significa que a motocicleta atinge sua velocidade máxima em 7 segundos, enquanto o carro leva aproximadamente 18,93 segundos para fazer o mesmo.

Passo 3

Agora, vamos dividir o movimento em duas partes:
  1. Antes de atingir a velocidade máxima da motocicleta ( t <= 7 s): Ambos os veículos estão acelerando.
  2. Depois que a motocicleta atinge sua velocidade máxima ( t > 7 s): A motocicleta mantém a velocidade constante, enquanto o carro continua acelerando até atingir sua própria velocidade máxima.
Como queremos saber quando o carro alcança a motocicleta, provavelmente esse momento ocorrerá após os 7 segundos, quando a motocicleta já está com velocidade constante.

Passo 4

Vamos expressar a posição de cada veículo em função do tempo.
  • Para a motocicleta:
    • Até t = 7 s:
      xm(t) = 12 am t^2
    • Após t = 7 s:
      xm(t) = xm(7) + vm (t - 7)
      Onde xm(7) = 12 times 8,40 times 7^2 = 205,8 m e vm = 58,8 m/s.
  • Para o carro:
    • Até t = 18,93 s:
      xc(t) = 12 ac t^2
    • Após t = 18,93 s:
      xc(t) = xc(18,93) + vc (t - 18,93)
      Onde xc(18,93) = 12 times 5,60 times (18,93)^2 approx 1003,35 m e vc = 106 m/s.

Passo 5

Queremos encontrar o tempo t onde xc(t) = xm(t) após t = 7 s. Assim:
xm(t) = 205,8 + 58,8 (t - 7)
xc(t) = 12 times 5,60 times t^2
Igualando as duas expressões:
205,8 + 58,8 (t - 7) = 2,80 t^2
Vamos simplificar essa equação:
205,8 + 58,8 t - 411,6 = 2,80 t^2
58,8 t - 205,8 = 2,80 t^2
2,80 t^2 - 58,8 t + 205,8 = 0

Passo 6

Agora temos uma equação quadrática na forma a t^2 + b t + c = 0, onde:
a = 2,80
b = -58,8
c = 205,8
Usaremos a fórmula de Bhaskara para resolver:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Calculando o discriminante ( De):
De
De
Agora, calculando os valores de t:
t = 58,8 pm raiz1148,645,6
raiz1148,64 approx 33,88
t1 = 58,8 + 33,885,6 approx 92,685,6 approx 16,53 s
t2 = 58,8 - 33,885,6 approx 24,925,6 approx 4,45 s
Como t = 4,45 s é menor que 7 segundos (quando a motocicleta já está a velocidade constante), desconsideramos essa solução.

Passo 7

Portanto, a única solução válida é t approx 16,53 s. Esse é o tempo após o início da corrida quando o carro alcança a motocicleta.

Resposta

O carro levará aproximadamente 16,53 segundos para alcançar a motocicleta.

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