Uma bola de massa m=4.7 kg está presa na extremidade de uma haste fina de comprimento L=1.4 m e massa desprezível. A haste é puxada lateralmente até fazer um ângulo theta com a vertical e então é solta a partir do repouso. Se a velocidade da bola no ponto mais baixo da circunferência é 4.2 m/s, determine o ângulo theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bola de massa $ m = 4.7 , kg $ presa na ponta de uma haste fina de comprimento $ L = 1.4 , m $. A haste é puxada para o lado, formando um ângulo $ \theta $ com a vertical, e depois solta do repouso. Queremos descobrir qual é esse ângulo $ \theta $ sabendo que a velocidade da bola no ponto mais baixo do movimento é $ v = 4.2 , m/s $.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Energia Potencial Gravitacional e Energia Cinética, aplicando o Princípio da Conservação da Energia. Vamos calcular a energia armazenada quando a haste está inclinada e igualar à energia cinética no ponto mais baixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a energia potencial gravitacional no ponto inicial. Quando a haste está inclinada, a bola está a uma certa altura $ h $ acima do ponto mais baixo. A energia potencial gravitacional ($ E_p $) é dada por:
h
onde:
  • $ m $ é a massa da bola,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9.81 , m/s^2 $),
  • $ h $ é a altura.
A altura $ h $ pode ser encontrada usando o comprimento da haste e o ângulo $ \theta $. Quando a haste está inclinada, a altura é:
Ep
Então, substituindo:
Ep = m cdot g cdot h

Passo 3

No ponto mais baixo, toda essa energia potencial se transforma em energia cinética ($ E_c $). A energia cinética é dada por:
Ec
Como estamos considerando que não há perda de energia (como atrito ou resistência do ar), podemos igualar a energia potencial inicial à energia cinética no ponto mais baixo:
Ec = 12 m v^2

Passo 4

Observa que a massa $ m $ aparece nos dois lados da equação e pode ser cancelada:
m
Vamos isolar $ 1 - \cos \theta $:
g cdot L cdot (1 - cos theta) = 12 v^2

Passo 5

Agora, resolvemos para $ \cos \theta $:
cos theta
E finalmente, para encontrar $ \theta $, tiramos o arco cosseno:
cos theta = 1 - v^22 g L

Passo 6

Vamos substituir os valores numéricos na equação:
v = 4.2 , m/s, L = 1.4 , m, g = 9.81 , m/s^2
Primeiro, calculamos $ \frac{v^2}{2 g L} $:
v^22 g L
Então:
v^22 g L = (4.2)^22 cdot 9.81 cdot 1.4 approx 17.6427.468 approx 0.642

Passo 7

Agora, encontramos o ângulo $ \theta $ tirando o arco cosseno de 0.358:
theta

Resposta

O ângulo $ \theta $ é aproximadamente $ 69.5^\circ $.

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