Uma bola de massa
está presa na extremidade de uma haste fina de comprimento
e massa desprezível. A haste é puxada lateralmente até fazer um ângulo
com a vertical e então é solta a partir do repouso. Se a velocidade da bola no ponto mais baixo da circunferência é
, determine o ângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bola de massa $ m = 4.7 , kg $ presa na ponta de uma haste fina de comprimento $ L = 1.4 , m $. A haste é puxada para o lado, formando um ângulo $ \theta $ com a vertical, e depois solta do repouso. Queremos descobrir qual é esse ângulo $ \theta $ sabendo que a velocidade da bola no ponto mais baixo do movimento é $ v = 4.2 , m/s $.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Energia Potencial Gravitacional e Energia Cinética, aplicando o Princípio da Conservação da Energia. Vamos calcular a energia armazenada quando a haste está inclinada e igualar à energia cinética no ponto mais baixo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a energia potencial gravitacional no ponto inicial. Quando a haste está inclinada, a bola está a uma certa altura $ h $ acima do ponto mais baixo. A energia potencial gravitacional ($ E_p $) é dada por:
onde:
- $ m $ é a massa da bola,
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9.81 , m/s^2 $),
- $ h $ é a altura.
A altura $ h $ pode ser encontrada usando o comprimento da haste e o ângulo $ \theta $. Quando a haste está inclinada, a altura é:
Então, substituindo:
Passo 3
No ponto mais baixo, toda essa energia potencial se transforma em energia cinética ($ E_c $). A energia cinética é dada por:
Como estamos considerando que não há perda de energia (como atrito ou resistência do ar), podemos igualar a energia potencial inicial à energia cinética no ponto mais baixo:
Passo 4
Observa que a massa $ m $ aparece nos dois lados da equação e pode ser cancelada:
Vamos isolar $ 1 - \cos \theta $:
Passo 5
Agora, resolvemos para $ \cos \theta $:
E finalmente, para encontrar $ \theta $, tiramos o arco cosseno:
Passo 6
Vamos substituir os valores numéricos na equação:
Primeiro, calculamos $ \frac{v^2}{2 g L} $:
Então:
Passo 7
Agora, encontramos o ângulo $ \theta $ tirando o arco cosseno de 0.358:
Resposta
O ângulo $ \theta $ é aproximadamente $ 69.5^\circ $.