- Dois tubos cilíndricos finos
e
têm mesmo comprimento.
tubo
que é aberto em ambos os lados está cheio com um gás monoatômico de massa molar
. O tubo
é fechado em um dos lados e está cheio com um gás diatômico de massa molar
. Ambos os gases estão á mesma temperatura.
a) Se a frequência do segundo harmônico do modo fundamental no tubo
é igual à frequência do terceiro harmônico do modo fundamental no tubo
determine o valor da razão
.
b) Considere que o lado aberto do tubo
seja fechado (o tubo fica fechado dos dois lados!!!). Nesta situação determine a razão entre as frequências do modo fundamental dos tubos
e
.
a) Se a frequência do segundo harmônico do modo fundamental no tubo
b) Considere que o lado aberto do tubo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois tubos cilíndricos, o A e o B, que têm o mesmo comprimento. O tubo A é aberto em ambos os lados e está cheio com um gás monoatômico de massa molar $ \mathrm{M}{\mathrm{A}} $. Já o tubo B é fechado em um dos lados e está cheio com um gás diatômico de massa molar $ M{B} $. Ambos os gases estão na mesma temperatura.
A matéria que vamos usar aqui é Acústica, especificamente o estudo das frequências dos harmônicos em tubos abertos e fechados. Precisamos entender como as frequências dos diferentes harmônicos se relacionam com as propriedades dos gases dentro dos tubos para resolver a questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular as frequências dos harmônicos em tubos abertos e fechados.
-
Tubo aberto: Tem aberturas em ambos os lados, então suporta todos os harmônicos (1ª, 2ª, 3ª, etc.). A frequência do n-ésimo harmônico é dada por:onde $ v $ é a velocidade do som no gás e $ L $ é o comprimento do tubo.
-
Tubo fechado: Tem uma extremidade fechada e outra aberta, suportando apenas harmônicos ímpares (1ª, 3ª, 5ª, etc.). A frequência do n-ésimo harmônico ímpar é:onde $ n $ é um número ímpar (1, 3, 5, …).
Passo 3
Agora, vamos relacionar a velocidade do som $ v $ com a massa molar do gás. A velocidade do som em um gás é dada por:
onde:
- $ \gamma $ é o coeficiente adiabático (para monoatômico, $ \gamma = \frac{5}{3} $; para diatômico, $ \gamma = \frac{7}{5} $),
- $ R $ é a constante universal dos gases,
- $ T $ é a temperatura,
- $ M $ é a massa molar do gás.
Como a temperatura é a mesma nos dois tubos, podemos ver que a velocidade do som depende da massa molar $ M $.
Passo 4
Vamos para a parte a) da questão:
A frequência do segundo harmônico no tubo A é igual à frequência do terceiro harmônico no tubo B. Vamos escrever isso usando as fórmulas:
Para o tubo A (aberto):
Para o tubo B (fechado):
Segundo a questão, $ f_{2A} = f_{3B} $:
Podemos simplificar $ L $:
Passo 5
Agora, vamos relacionar as velocidades do som usando a fórmula $ v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} $.
Temos:
Como $ v_A = \frac{3 v_B}{4} $, vamos substituir:
Passo 6
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Simplificando $ R T $ que aparece dos dois lados:
Passo 7
Agora, queremos achar a razão $ \frac{M_A}{M_B} $. Vamos reorganizar a equação:
Então:
Conhecendo $ \gamma_A = \frac{5}{3} $ e $ \gamma_B = \frac{7}{5} $ (para gases monoatômico e diatômico, respectivamente):
Resposta
A razão entre as massas molares é $ \frac{M_A}{M_B} \approx 2,116 $.