Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão
Departamento de Física
Disciplina: Física 1
Primeira Avaliação
Turma: Licenciatura em Física
Prof. Samir Coutinho
Uma partícula move-se no plano X Y de modo que seu vetor velocidade é dado por v=[(4 t^3+4 t) i+4 t j] m / s. Se a posição da partícula for r=(i+2 j) m quando t=0, determine o vetor posição e aceleração em função do tempo para esta partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move no plano $ XY $ com um vetor velocidade dado por $ \vec{v} = \left[(4 t^{3} + 4 t) \hat{i} + 4 t \hat{j}\right] $ metros por segundo. Sabemos também que, quando $ t = 0 $, a posição da partícula é $ \vec{r} = (\hat{i} + 2 \hat{j}) $ metros. Nosso objetivo é encontrar o vetor posição $ \vec{r}(t) $ e o vetor aceleração $ \vec{a}(t) $ em função do tempo $ t $. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente integrais e derivadas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor posição $ \vec{r}(t) $. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
r(t)
Para encontrar $ \vec{r}(t) $, precisamos integrar $ \vec{v}(t) $ em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos integrar cada componente do vetor velocidade separadamente. A velocidade é dada por:
v(t) = [(4 t^3 + 4 t) i + 4 t j]
Integrando a componente $ i $:
i
Integrando a componente $ j $:
integral (4 t^3 + 4 t) , dt = integral 4 t^3 , dt + integral 4 t , dt = t^4 + 2 t^2 + C1
Então, o vetor posição é:
j

Passo 4

Agora, precisamos determinar as constantes de integração $ C_1 $ e $ C_2 $ usando a condição inicial que nos foi dada: quando $ t = 0 $, $ \vec{r} = (\hat{i} + 2 \hat{j}) $.
Substituindo $ t = 0 $ na equação de $ \vec{r}(t) $:
C1
Isso nos dá:
C2

Passo 5

Agora que temos as constantes, substituímos de volta na equação de $ \vec{r}(t) $:
r(t)
Então, essa é a expressão do vetor posição em função do tempo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração $ \vec{a}(t) $. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t)
Dada a velocidade:
a(t) = dv(t)dt
Vamos derivar cada componente:
Derivando a componente $ i $:
v(t) = [(4 t^3 + 4 t) i + 4 t j]
Derivando a componente $ j $:
i
Então, o vetor aceleração é:
ddt(4 t^3 + 4 t) = 12 t^2 + 4

Resposta

O vetor posição em função do tempo é:
r(t) = (t^4 + 2 t^2 + 1) i + (2 t^2 + 2) j metros
E o vetor aceleração em função do tempo é:
a(t) = (12 t^2 + 4) i + 4 j metros por segundo ao quadrado

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