Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão
Departamento de Física
Disciplina: Física 1
Primeira Avaliação
Turma: Licenciatura em Física
Prof. Samir Coutinho
Uma partícula move-se no plano
de modo que seu vetor velocidade é dado por
. Se a posição da partícula for
quando
, determine o vetor posição e aceleração em função do tempo para esta partícula.
Departamento de Física
Disciplina: Física 1
Primeira Avaliação
Turma: Licenciatura em Física
Prof. Samir Coutinho
Uma partícula move-se no plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move no plano $ XY $ com um vetor velocidade dado por $ \vec{v} = \left[(4 t^{3} + 4 t) \hat{i} + 4 t \hat{j}\right] $ metros por segundo. Sabemos também que, quando $ t = 0 $, a posição da partícula é $ \vec{r} = (\hat{i} + 2 \hat{j}) $ metros. Nosso objetivo é encontrar o vetor posição $ \vec{r}(t) $ e o vetor aceleração $ \vec{a}(t) $ em função do tempo $ t $. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente integrais e derivadas de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor posição $ \vec{r}(t) $. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Para encontrar $ \vec{r}(t) $, precisamos integrar $ \vec{v}(t) $ em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos integrar cada componente do vetor velocidade separadamente. A velocidade é dada por:
Integrando a componente $ i $:
Integrando a componente $ j $:
Então, o vetor posição é:
Passo 4
Agora, precisamos determinar as constantes de integração $ C_1 $ e $ C_2 $ usando a condição inicial que nos foi dada: quando $ t = 0 $, $ \vec{r} = (\hat{i} + 2 \hat{j}) $.
Substituindo $ t = 0 $ na equação de $ \vec{r}(t) $:
Isso nos dá:
Passo 5
Agora que temos as constantes, substituímos de volta na equação de $ \vec{r}(t) $:
Então, essa é a expressão do vetor posição em função do tempo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o vetor aceleração $ \vec{a}(t) $. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Dada a velocidade:
Vamos derivar cada componente:
Derivando a componente $ i $:
Derivando a componente $ j $:
Então, o vetor aceleração é:
Resposta
O vetor posição em função do tempo é:
E o vetor aceleração em função do tempo é: