Uma bola de massa m é lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra com uma velocidade inicial positiva v0. Assumimos que as forças agindo na bola sejam a força da gravidade e a força da resistência do ar com sentido oposto ao sentido do movimento e com módulo k * |v|, onde k é uma constante positiva e v(t) é a velocidade no instante t.( Durante a subida, v(t) é positiva e a resistência do ar age para baixo; durante a descida, v(t) é negativa e a resistência do ar age para cima)
a) Encontre a EDO que descreve o movimento da bola.

Passo 1

Então, temos uma bola de massa lançada para cima com velocidade inicial . Precisamos encontrar a Equação Diferencial Ordinária (EDO) que descreve o movimento dessa bola. Para isso, vamos usar conceitos de forças e movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na bola. Temos duas forças principais: a força da gravidade e a resistência do ar. A força da gravidade puxa a bola para baixo e é dada por , onde é a aceleração da gravidade.

Passo 3

A resistência do ar depende da velocidade da bola e sempre age na direção oposta ao movimento. O enunciado nos diz que o módulo dessa força é , onde é uma constante positiva e é a velocidade no instante .

Passo 4

Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa multiplicada pela aceleração da bola: . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, .

Passo 5

Vamos considerar o sentido para cima como positivo. Durante a subida, e a resistência do ar atua para baixo, tornando . Durante a descida, e a resistência do ar atua para cima, o que também resulta em (já que é negativo).

Passo 6

Somando todas as forças atuando na bola, temos:

Passo 7

Para encontrar a EDO, vamos isolar :

Resposta

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