Uma bola de massa
é lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra com uma velocidade inicial positiva
. Assumimos que as forças agindo na bola sejam a força da gravidade e a força da resistência do ar com sentido oposto ao sentido do movimento e com módulo
, onde
é uma constante positiva e
é a velocidade no instante
.( Durante a subida,
é positiva e a resistência do ar age para baixo; durante a descida,
é negativa e a resistência do ar age para cima)
a) Encontre a EDO que descreve o movimento da bola.
a) Encontre a EDO que descreve o movimento da bola.
Passo 1
Então, temos uma bola de massa
lançada para cima com velocidade inicial
. Precisamos encontrar a Equação Diferencial Ordinária (EDO) que descreve o movimento dessa bola. Para isso, vamos usar conceitos de forças e movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na bola. Temos duas forças principais: a força da gravidade e a resistência do ar. A força da gravidade puxa a bola para baixo e é dada por
, onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
A resistência do ar depende da velocidade da bola e sempre age na direção oposta ao movimento. O enunciado nos diz que o módulo dessa força é
, onde
é uma constante positiva e
é a velocidade no instante
.
Passo 4
Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante
é igual à massa
multiplicada pela aceleração
da bola:
. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 5
Vamos considerar o sentido para cima como positivo. Durante a subida,
e a resistência do ar atua para baixo, tornando
. Durante a descida,
e a resistência do ar atua para cima, o que também resulta em
(já que
é negativo).
Passo 6
Somando todas as forças atuando na bola, temos:
Passo 7
Para encontrar a EDO, vamos isolar
: