Seja
a curva representada pelas equações (Ex12)
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de
.
3.4.
3.4.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de linha ao longo da curva
definida pelas equações paramétricas
,
e
, onde
varia de 0 a 1. O que vamos precisar aqui é entender como transformar essa integral de linha em uma integral comum, usando a parametrização da curva. Vamos resolver a integral
passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar todas as variáveis da integral (
,
,
e
) em termos de
. Já temos as parametrizações:
Passo 3
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
, que é
. Isso nos ajuda a expressar
em termos de
:
Portanto,
.
Passo 4
Substituímos
,
,
e
na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes de
:
E para os termos de
:
Então, a integral simplificada é:
Passo 7
Agora, integramos
em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 8
Multiplicamos o resultado da integral pela constante que tínhamos:
Resposta
Portanto, o valor da integral de linha é 162.