Seja C a curva representada pelas equações (Ex12)
x=t, y=3 cdot t^2, z=6 cdot t^3(0 <= t <= 1)
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de c.
3.4. integralc x cdot y cdot z^2 cdot d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de linha ao longo da curva C definida pelas equações paramétricas x = t, y = 3t^2 e z = 6t^3, onde t varia de 0 a 1. O que vamos precisar aqui é entender como transformar essa integral de linha em uma integral comum, usando a parametrização da curva. Vamos resolver a integral integralC x cdot y cdot z^2 cdot dz passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar todas as variáveis da integral ( x, y, z e dz) em termos de t. Já temos as parametrizações:
x = t, y = 3t^2, z = 6t^3

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de z em relação a t, que é dz/dt. Isso nos ajuda a expressar dz em termos de dt:
dzdt = ddt(6t^3) = 18t^2
Portanto, dz = 18t^2 , dt.

Passo 4

Substituímos x, y, z e dz na integral original:
integralC x cdot y cdot z^2 cdot dz = integral0^1 (t) cdot (3t^2) cdot (6t^3)^2 cdot (18t^2) , dt

Passo 5

Vamos simplificar os termos dentro da integral:
(6t^3)^2 = 36t^6
Então, a integral fica:
integral0^1 t cdot 3t^2 cdot 36t^6 cdot 18t^2 , dt

Passo 6

Multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes de t:
3 cdot 36 cdot 18 = 1944
E para os termos de t:
t^1 cdot t^2 cdot t^6 cdot t^2 = t^11
Então, a integral simplificada é:
1944 integral0^1 t^11 , dt

Passo 7

Agora, integramos t^11 em relação a t:
integral t^11 , dt = t^1212 + C
Aplicando os limites de 0 a 1:
[ t^1212 ]0^1 = 1^1212 - 0^1212 = 112

Passo 8

Multiplicamos o resultado da integral pela constante que tínhamos:
1944 cdot 112 = 162

Resposta

Portanto, o valor da integral de linha é 162.

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