Dê um exemplo explícito de uma função
definida para todo
tal que a equação
tenha três soluções de equilíbrios (pontos críticos), sendo duas instáveis e uma assintóticamente estável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar uma função
que funciona para todo número real
, e que a equação
tenha três pontos de equilíbrio (ou pontos críticos). Desses três, dois devem ser instáveis e um deve ser assintoticamente estável. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções polinomiais e estabilidade desses pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em uma função que possa ter exatamente três pontos onde
. Uma boa aposta são os polinômios de terceiro grau, também conhecidos como polinômios cúbicos, porque eles podem ter até três raízes reais. Então, vamos considerar uma função cúbica geral:
Para simplificar, podemos escolher
e definir
, assim nossa função fica:
Passo 3
Agora, precisamos que essa função tenha exatamente três raízes reais. Uma forma simples de garantir isso é escolher uma função cúbica que seja simétrica e tenha raízes em posições bem definidas. Vamos tentar:
Vamos verificar as raízes dessa função:
Então,
tem três pontos de equilíbrio:
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a estabilidade desses pontos. A estabilidade é determinada pela derivada da função
. Vamos calcular
:
A estabilidade é determinada pelo sinal de
nos pontos de equilíbrio:
- Para
:
Como a derivada é positiva,
é um ponto de equilíbrio instável.
- Para
:
Como a derivada é negativa,
é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável.
- Para
:
Como a derivada é positiva,
é um ponto de equilíbrio instável.
Resposta
Um exemplo de função que satisfaz as condições dadas é: