Dê um exemplo explícito de uma função f(x) definida para todo x em R tal que a equação x' = f(x) tenha três soluções de equilíbrios (pontos críticos), sendo duas instáveis e uma assintóticamente estável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar uma função que funciona para todo número real , e que a equação tenha três pontos de equilíbrio (ou pontos críticos). Desses três, dois devem ser instáveis e um deve ser assintoticamente estável. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções polinomiais e estabilidade desses pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em uma função que possa ter exatamente três pontos onde . Uma boa aposta são os polinômios de terceiro grau, também conhecidos como polinômios cúbicos, porque eles podem ter até três raízes reais. Então, vamos considerar uma função cúbica geral:
Para simplificar, podemos escolher e definir , assim nossa função fica:

Passo 3

Agora, precisamos que essa função tenha exatamente três raízes reais. Uma forma simples de garantir isso é escolher uma função cúbica que seja simétrica e tenha raízes em posições bem definidas. Vamos tentar:
Vamos verificar as raízes dessa função:
Então, tem três pontos de equilíbrio: , e .

Passo 4

Agora, vamos analisar a estabilidade desses pontos. A estabilidade é determinada pela derivada da função . Vamos calcular :
A estabilidade é determinada pelo sinal de nos pontos de equilíbrio:
  • Para :
Como a derivada é positiva, é um ponto de equilíbrio instável.
  • Para :
Como a derivada é negativa, é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável.
  • Para :
Como a derivada é positiva, é um ponto de equilíbrio instável.

Resposta

Um exemplo de função que satisfaz as condições dadas é:

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