Uma bola, de massa m, é presa na extremidade de um fio de comprimento 75,0 cm que tem a outra extremidade fixa (veja a figura ao lado). A bola é liberada no ângulo theta= 90,0^circ e colide elasticamente com um bloco de 3,00 kg, em repouso e sobre uma superfície sem atrito, em theta=15,0^circ. Logo após o choque a velocidade da bola é de 2,53 m / s. Determine (a) a massa m e (b) a velocidade do bloco após o choque.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma bola de massa presa a um fio de cm. A bola é solta de um ângulo de e, ao chegar em , ela colide elasticamente com um bloco de kg que está em repouso numa superfície sem atrito. Depois da colisão, a bola está se movendo a . Precisamos encontrar:
a) A massa da bola.
b) A velocidade do bloco após a colisão.
Vamos precisar usar conceitos de energia potencial e cinética na física, além das leis de conservação de momento e energia para colisões elásticas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a energia da bola antes da colisão. Quando a bola é solta do ângulo U = m cdot g cdot h , ela tem energia potencial máxima e energia cinética nula. À medida que ela desce até , parte dessa energia potencial se transforma em energia cinética.
A energia potencial gravitacional ( ) é dada por:
onde:
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura.
Precisamos encontrar a altura correspondente à diferença de altura entre os ângulos e .

Passo 3

Vamos calcular a altura h = L cdot (1 - cos theta) . O comprimento do fio é De cm cos 90^circ = 0 m.
Quando a bola está em um ângulo De, a altura acima do ponto mais baixo é:
cos 15^circ approx 0,9659
Então, a diferença de altura entre De e é:
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial perdida, que se transforma em energia cinética ( K = m cdot g cdot De):
K = m cdot 9,81 cdot 0,7244
K approx m cdot 7,11 , J
Essa é a energia cinética da bola no momento da colisão.

Passo 5

Como a colisão é elástica, tanto a energia cinética quanto o momento são conservados. Vamos usar as equações de conservação de momento e energia.
Conservação do momento:
m cdot v1i = m cdot v1f + M cdot v2f
onde:
  • 12 m v1i^2 = 12 m v1f^2 + 12 M v2f^2 é a velocidade inicial da bola antes da colisão,
  • é a velocidade da bola após a colisão ( ),
  • é a massa do bloco ( ),
  • é a velocidade do bloco após a colisão.
Conservação da energia cinética:

Passo 6

Vamos primeiro encontrar K = 12 m v1i^2 = m cdot 7,11 , a velocidade da bola antes da colisão, a partir da energia cinética calculada no Passo 4:
12 v1i^2 = 7,11
v1i^2 = 14,22
v1i = raiz14,22 approx 3,77 , m/s

Passo 7

Agora, substituímos m cdot 3,77 = m cdot 2,53 + 3,00 cdot v2f e m (3,77 - 2,53) = 3,00 cdot v2f nas equações de conservação do momento e da energia cinética.
Primeira equação (momento):
m cdot 1,24 = 3,00 cdot v2f
v2f = m cdot 1,243,00
v2f = 0,413 cdot m
12 m (3,77)^2 = 12 m (2,53)^2 + 12 cdot 3,00 cdot v2f^2
12 m cdot 14,2129 = 12 m cdot 6,4009 + 32 v2f^2
Segunda equação (energia):
7,10645 cdot m = 3,20045 cdot m + 1,5 cdot v2f^2
7,10645m - 3,20045m = 1,5 cdot v2f^2
3,906m = 1,5 cdot v2f^2
v2f^2 = 3,9061,5 m approx 2,604 m

Passo 8

Agora, substituímos (0,413 cdot m)^2 = 2,604 m na equação 0,1706 m^2 = 2,604 m :
0,1706 m^2 - 2,604 m = 0
m (0,1706 m - 2,604) = 0
0,1706 m = 2,604
m = 2,6040,1706 approx 15,24 , kg
Ignorando a solução trivial , temos:

Resposta

a) A massa v2f = 0,413 cdot m approx 0,413 cdot 15,24 approx 6,29 , m/s da bola é aproximadamente .
b) A velocidade do bloco após o choque é:

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