Uma bola, de massa , é presa na extremidade de um fio de comprimento que tem a outra extremidade fixa (veja a figura ao lado). A bola é liberada no ângulo e colide elasticamente com um bloco de , em repouso e sobre uma superfície sem atrito, em . Logo após o choque a velocidade da bola é de . Determine (a) a massa e (b) a velocidade do bloco após o choque.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma bola de massa presa a um fio de cm. A bola é solta de um ângulo de e, ao chegar em , ela colide elasticamente com um bloco de kg que está em repouso numa superfície sem atrito. Depois da colisão, a bola está se movendo a . Precisamos encontrar:
a) A massa da bola.
b) A velocidade do bloco após a colisão.
Vamos precisar usar conceitos de energia potencial e cinética na física, além das leis de conservação de momento e energia para colisões elásticas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a energia da bola antes da colisão. Quando a bola é solta do ângulo , ela tem energia potencial máxima e energia cinética nula. À medida que ela desce até , parte dessa energia potencial se transforma em energia cinética.
A energia potencial gravitacional ( ) é dada por:
onde:
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura.
Precisamos encontrar a altura correspondente à diferença de altura entre os ângulos e .

Passo 3

Vamos calcular a altura . O comprimento do fio é cm m.
Quando a bola está em um ângulo , a altura acima do ponto mais baixo é:
Então, a diferença de altura entre e é:
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial perdida, que se transforma em energia cinética ( ):
Essa é a energia cinética da bola no momento da colisão.

Passo 5

Como a colisão é elástica, tanto a energia cinética quanto o momento são conservados. Vamos usar as equações de conservação de momento e energia.
Conservação do momento:
onde:
  • é a velocidade inicial da bola antes da colisão,
  • é a velocidade da bola após a colisão ( ),
  • é a massa do bloco ( ),
  • é a velocidade do bloco após a colisão.
Conservação da energia cinética:

Passo 6

Vamos primeiro encontrar , a velocidade da bola antes da colisão, a partir da energia cinética calculada no Passo 4:

Passo 7

Agora, substituímos e nas equações de conservação do momento e da energia cinética.
Primeira equação (momento):
Segunda equação (energia):

Passo 8

Agora, substituímos na equação :
Ignorando a solução trivial , temos:

Resposta

a) A massa da bola é aproximadamente .
b) A velocidade do bloco após o choque é:

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