No instante
uma esfera metálica é lançada para cima, a partir do nível do solo, em um terreno plano e com ângulo de lançamento com a horizontal
. A figura ao lado mostra o módulo
do momentum linear da esfera em função do tempo
após o lançamento (
e
. Determine (a)
e (b) a massa da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma esfera metálica sendo lançada para cima a partir do solo, formando um ângulo inicial
com a horizontal. No instante inicial (
s), o momentum linear da esfera é
. Após algum tempo, esse momentum diminui para
. A gente precisa descobrir dois valores: o ângulo de lançamento
e a massa da esfera. Para isso, vamos usar conceitos de momentum linear e movimento de projetil.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com o momentum linear da esfera. O momentum linear (
) é dado por:
onde
é a massa e
é a velocidade.
No instante inicial (
s), o momentum é
, onde
é a velocidade inicial.
Após algum tempo, no ponto mais alto da trajetória, a componente vertical da velocidade é zero (porque a esfera para de subir e começa a descer), então o momentum nesse ponto (
) é apenas a componente horizontal:
Passo 3
Agora, temos duas equações:
Podemos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar a massa
:
Substituindo os valores fornecidos:
Passo 4
Para encontrar o ângulo
, usamos a função arco cosseno:
Calculando isso:
Passo 5
Agora que temos o ângulo, vamos encontrar a massa da esfera. Lembrando da primeira equação:
Para encontrar
, precisamos primeiro expressar
. Mas vamos usar a segunda equação novamente:
Sabemos que
, então substituindo na equação de
:
Simplificando:
O que já usamos para encontrar
. Para encontrar
, vamos usar o movimento vertical. No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero. A velocidade inicial na direção vertical é:
E o tempo para alcançar o ponto mais alto (
) é quando
, mas sem o tempo específico não podemos usar essa equação diretamente.
No entanto, como já relacionamos
e
diretamente com
, podemos reescrever a massa de
:
Mas ainda precisamos de uma relação para
. Vamos considerar que a esfera atinge a altura máxima quando a velocidade vertical é zero, então:
Sem o tempo ou a altura, estamos limitados. Então, para simplificar, podemos expressar a massa em termos do momentum horizontal no ponto mais alto:
Substituindo
:
Isso confirma nossa relação anterior. Portanto, precisamos de outra informação para determinar a massa, mas como não temos mais dados, assumiremos que a massa pode ser expressa pela relação:
Mas sem
, não podemos calcular numéricamente. Parece que faltou algum dado na questão para determinar a massa.
Resposta
(a) O ângulo de lançamento
é aproximadamente
.
(b) A massa da esfera não pode ser determinada com os dados fornecidos, pois falta informação sobre a velocidade inicial ou tempo de subida.
(b) A massa da esfera não pode ser determinada com os dados fornecidos, pois falta informação sobre a velocidade inicial ou tempo de subida.
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