No instante uma esfera metálica é lançada para cima, a partir do nível do solo, em um terreno plano e com ângulo de lançamento com a horizontal . A figura ao lado mostra o módulo do momentum linear da esfera em função do tempo após o lançamento ( e . Determine (a) e (b) a massa da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma esfera metálica sendo lançada para cima a partir do solo, formando um ângulo inicial com a horizontal. No instante inicial ( s), o momentum linear da esfera é . Após algum tempo, esse momentum diminui para . A gente precisa descobrir dois valores: o ângulo de lançamento e a massa da esfera. Para isso, vamos usar conceitos de momentum linear e movimento de projetil.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com o momentum linear da esfera. O momentum linear ( ) é dado por:
onde é a massa e é a velocidade.
No instante inicial ( s), o momentum é , onde é a velocidade inicial.
Após algum tempo, no ponto mais alto da trajetória, a componente vertical da velocidade é zero (porque a esfera para de subir e começa a descer), então o momentum nesse ponto ( ) é apenas a componente horizontal:

Passo 3

Agora, temos duas equações:
Podemos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar a massa :
Substituindo os valores fornecidos:

Passo 4

Para encontrar o ângulo , usamos a função arco cosseno:
Calculando isso:

Passo 5

Agora que temos o ângulo, vamos encontrar a massa da esfera. Lembrando da primeira equação:
Para encontrar , precisamos primeiro expressar . Mas vamos usar a segunda equação novamente:
Sabemos que , então substituindo na equação de :
Simplificando:
O que já usamos para encontrar . Para encontrar , vamos usar o movimento vertical. No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero. A velocidade inicial na direção vertical é:
E o tempo para alcançar o ponto mais alto ( ) é quando , mas sem o tempo específico não podemos usar essa equação diretamente.
No entanto, como já relacionamos e diretamente com , podemos reescrever a massa de :
Mas ainda precisamos de uma relação para . Vamos considerar que a esfera atinge a altura máxima quando a velocidade vertical é zero, então:
Sem o tempo ou a altura, estamos limitados. Então, para simplificar, podemos expressar a massa em termos do momentum horizontal no ponto mais alto:
Substituindo :
Isso confirma nossa relação anterior. Portanto, precisamos de outra informação para determinar a massa, mas como não temos mais dados, assumiremos que a massa pode ser expressa pela relação:
Mas sem , não podemos calcular numéricamente. Parece que faltou algum dado na questão para determinar a massa.

Resposta

(a) O ângulo de lançamento é aproximadamente .
(b) A massa da esfera não pode ser determinada com os dados fornecidos, pois falta informação sobre a velocidade inicial ou tempo de subida.

Exercícios relacionados

A figura abaixo ilustra um arranjo de 17 discos colados para formar uma barra em L de comprimento e massa total . O arranjo gira com frequência de 45 Hz em torno de um eixo que passa pelo ponto e é paralelo aos eixos dos discos. Determine (a) o momento de inércia do conjunto em torno desse eixo e (b) caso o disco mais distante do ponto se desprenda, a variação de energia cinética do conjunto.
Uma bola, de massa , é presa na extremidade de um fio de comprimento que tem a outra extremidade fixa (veja a figura ao lado). A bola é liberada no ângulo e colide elasticamente com um bloco de , em repouso e sobre uma superfície sem atrito, em . Logo após o choque a velocidade da bola é de . Determine (a) a massa e (b) a velocidade do bloco após o choque.
Uma pec, a de carro de 60 kg desce deslizando uma rampa inclinada lisa de de comprimento e de altura. Um mecanico aplica uma forc, a para cima contra o carro na direc, ^ ao paralela a rampa inclinada, para
Para quais valores de os dois vetores e são perpendiculares entre si.