No instante t=0 s uma esfera metálica é lançada para cima, a partir do nível do solo, em um terreno plano e com ângulo de lançamento com a horizontal theta0. A figura ao lado mostra o módulo p do momentum linear da esfera em função do tempo t após o lançamento ( p0=352,80 kg cdot m / s e p1=282,24 kg cdot m / s). Determine (a) theta0 e (b) a massa da esfera. (g=9,80 m / s^2)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma esfera metálica sendo lançada para cima a partir do solo, formando um ângulo inicial theta0 com a horizontal. No instante inicial ( t = 0 s), o momentum linear da esfera é p0 = 352,80 , kg cdot m/s. Após algum tempo, esse momentum diminui para p1 = 282,24 , kg cdot m/s. A gente precisa descobrir dois valores: o ângulo de lançamento theta0 e a massa da esfera. Para isso, vamos usar conceitos de momentum linear e movimento de projetil.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com o momentum linear da esfera. O momentum linear ( p) é dado por:
p = m cdot v
onde m é a massa e v é a velocidade.
No instante inicial ( t = 0 s), o momentum é p0 = m cdot v0, onde v0 é a velocidade inicial.
Após algum tempo, no ponto mais alto da trajetória, a componente vertical da velocidade é zero (porque a esfera para de subir e começa a descer), então o momentum nesse ponto ( p1) é apenas a componente horizontal:
p1 = m cdot v0 cdot cos(theta0)

Passo 3

Agora, temos duas equações:
  1. p0 = m cdot v0
  2. p1 = m cdot v0 cdot cos(theta0)
Podemos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar a massa m:
p1p0 = cos(theta0)
Substituindo os valores fornecidos:
282,24352,80 = cos(theta0)
cos(theta0) = 0,8

Passo 4

Para encontrar o ângulo theta0, usamos a função arco cosseno:
theta0 = arccos(0,8)
Calculando isso:
theta0 approx 36,87^circ

Passo 5

Agora que temos o ângulo, vamos encontrar a massa da esfera. Lembrando da primeira equação:
p0 = m cdot v0
Para encontrar m, precisamos primeiro expressar v0. Mas vamos usar a segunda equação novamente:
p1 = m cdot v0 cdot cos(theta0)
Sabemos que v0 = p0m, então substituindo na equação de p1:
p1 = m cdot (p0m) cdot cos(theta0)
Simplificando:
p1 = p0 cdot cos(theta0)
O que já usamos para encontrar theta0. Para encontrar m, vamos usar o movimento vertical. No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero. A velocidade inicial na direção vertical é:
v0y = v0 cdot sin(theta0)
E o tempo para alcançar o ponto mais alto ( tapex) é quando v0y = g cdot tapex, mas sem o tempo específico não podemos usar essa equação diretamente.
No entanto, como já relacionamos p0 e p1 diretamente com cos(theta0), podemos reescrever a massa de p0:
m = p0v0
Mas ainda precisamos de uma relação para v0. Vamos considerar que a esfera atinge a altura máxima quando a velocidade vertical é zero, então:
v0y = v0 cdot sin(theta0) = g cdot tapex
Sem o tempo ou a altura, estamos limitados. Então, para simplificar, podemos expressar a massa em termos do momentum horizontal no ponto mais alto:
p1 = m cdot v0 cdot cos(theta0)
Substituindo v0 = p0m:
p1 = m cdot (p0m) cdot cos(theta0) = p0 cdot cos(theta0)
Isso confirma nossa relação anterior. Portanto, precisamos de outra informação para determinar a massa, mas como não temos mais dados, assumiremos que a massa pode ser expressa pela relação:
m = p0v0
Mas sem v0, não podemos calcular numéricamente. Parece que faltou algum dado na questão para determinar a massa.

Resposta

(a) O ângulo de lançamento theta0 é aproximadamente 36,87^circ.
(b) A massa da esfera não pode ser determinada com os dados fornecidos, pois falta informação sobre a velocidade inicial ou tempo de subida.

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