A figura abaixo ilustra um arranjo de 17 discos colados para formar uma barra em L de comprimento 1,050 m e massa total 1020,0 g. O arranjo gira com frequência de 45 Hz em torno de um eixo que passa pelo ponto O e é paralelo aos eixos dos discos. Determine (a) o momento de inércia do conjunto em torno desse eixo e (b) caso o disco mais distante do ponto O se desprenda, a variação de energia cinética do conjunto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou está na área de Física, mais especificamente sobre Rotação e Momento de Inércia. A gente tem uma barra em forma de L formada por 17 discos, com comprimento total de 1,050 metros e massa total de 1020 gramas. Essa barra está girando em torno de um ponto chamado com uma frequência de 45 Hz. Precisamos descobrir duas coisas:
(a) O momento de inércia desse conjunto em torno do ponto .
(b) O quanto a energia cinética muda caso o disco mais distante do ponto se desprenda.
Para resolver isso, vamos seguir passo a passo, explicando cada conceito e fazendo os cálculos necessários!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. O momento de inércia ( I = m times r^2 ) é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula básica para o momento de inércia de um ponto de massa é:
onde:
  • é a massa do objeto,
  • é a distância do objeto ao eixo de rotação.
No caso de múltiplos objetos (ou discos), somamos os momentos de inércia de cada um.

Passo 3

Vamos determinar a massa de cada disco. Sabemos que a massa total da barra é de 1020 gramas e há 17 discos. Então, a massa de cada disco é:
mdisco = 1020,g17 = 60,g
Convertendo para quilogramas (já que a unidade padrão é o SI):
mdisco = 0,060,kg

Passo 4

Agora, precisamos descobrir a distância de cada disco ao ponto De. Como a barra tem forma de L, vamos supor que os discos estão distribuídos uniformemente ao longo do comprimento total de 1,050 metros.
Para simplificar, podemos assumir que os 17 discos estão dispostos linearmente ao longo dos 1,050 metros. A distância entre cada disco seria:
Então, a posição de cada disco em relação a é múltiplo de .

Passo 5

Vamos calcular o momento de inércia total somando os momentos de inércia de cada disco. A distância de cada disco ao ponto Itotal = sumn=1^17 mdisco times (n times De será , onde .
Então, o momento de inércia total ( ) é:
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calculamos De:
Itotal = 0,060,kg times sumn=1^17 (n times 0,0618,m)^2
Agora, para cada disco , calculamos e depois .
Vamos resumir esses cálculos:

Passo 7

Calculando a soma dos quadrados:
sumn=1^17 n^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots + 17^2
Sabemos que a soma dos quadrados dos primeiros sumn=1^N n^2 = N(N+1)(2N+1)6 números naturais é:
sumn=1^17 n^2 = 17 times 18 times 356 = 107106 = 1785
Para :

Passo 8

Agora, substituímos na fórmula do momento de inércia:
Itotal = 0,060,kg times (0,0618,m)^2 times 1785
Calculando (0,0618)^2 approx 0,003826,m^2 :
Itotal = 0,060,kg times 0,003826,m^2 times 1785 approx 0,060 times 6,832 approx 0,410,kg⋅m^2
Então:

Passo 9

Pronto! Agora temos o momento de inércia total do conjunto em torno do eixo Itotal approx 0,410,kg⋅m^2 .
Resposta final da parte (a):

Passo 10

Agora, vamos para a parte (b): determinar a variação da energia cinética quando o disco mais distante se desprende.
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética rotacional ( K = 12 I omega^2 ) é dada por:
onde:
  • é o momento de inércia,
  • é a velocidade angular.
Precisamos entender como a remoção de um disco afeta o momento de inércia e, consequentemente, a energia cinética.

Passo 11

Antes da remoção, temos:
  • Momento de inércia total: omega = 2pi f = 2pi times 45 approx 282,74,rad/s
  • Frequência de rotação:
Primeiro, vamos converter a frequência para velocidade angular ( ):

Passo 12

Calculamos a energia cinética inicial ( Kinicial = 12 times 0,410 times (282,74)^2 approx 0,205 times 79999,3 approx 16399,J ):

Passo 13

Agora, ao remover o disco mais distante, que está no disco 17:
  • Massa do disco removido: Inovo = Itotal - mdisco times r17^2 = 0,410 - 0,060 times (1,0506)^2 approx 0,410 - 0,060 times 1,1037 approx 0,410 - 0,0662 approx 0,3438,kg⋅m^2
  • Distância do disco removido:
O novo momento de inércia ( ) será:

Passo 14

Agora, como não há torque externo, o momento angular é conservado:
Itotal omega = Inovo omeganovo
Resolvendo para omeganovo = ItotalInovo omega = 0,4100,3438 times 282,74 approx 1,191 times 282,74 approx 336,32,rad/s :

Passo 15

Calculamos a nova energia cinética ( Knovo = 12 times 0,3438 times (336,32)^2 approx 0,1719 times 113,124 approx 19417,J ):

Passo 16

Finalmente, a variação da energia cinética ( De) é:
Parece que houve um aumento na energia cinética, o que pode parecer contra-intuitivo. Porém, na verdade, quando removemos o disco mais distante, o sistema precisa girar mais rápido para conservar o momento angular, aumentando assim a energia cinética.
Resposta final da parte (b):
A energia cinética do conjunto aumenta em aproximadamente 30218 J quando o disco mais distante é removido.

Resposta

(a) O momento de inércia total do conjunto em torno do ponto é aproximadamente .
(b) A energia cinética do conjunto aumenta em aproximadamente 30218 J quando o disco mais distante se desprende.

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